Ο είναι ελεύθερο - πρότυπο με βάση (κάθε άλλη βάση είναι μονοσύνολο). Κάθε άλλο - υποπρότυπο του , δηλαδή κάθε ιδεώδες του , είναι εξ'υποθέσεως
ελεύθερο - πρότυπο, άρα θα έχει και αυτό βάση με στοιχείο,δηλαδή κάθε ιδεώδες είναι κύριο.
Μένει να δείξουμε ότι ο είναι και ακέραια περιοχή. Πράγματι, αν έχουμε με , τότε με την υπόθεση ότι , κάθε στοιχείο
του ιδεώδους του γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή , όπου . Ἐτσι, έχουμε ταυτόχρονα
όπως θέλαμε.