Ασκήσεις Άλγεβρας
Συντονιστής: Demetres
Ασκήσεις Άλγεβρας
1) Βρείτε όλες τις ομάδες τάξης 35(ως προς ισομορφισμό).
2) Έστω τα ιδεώδη και ενός δακτυλίου.
Δείξτε . Ισχύει πάντα η ισότητα;
2) Έστω τα ιδεώδη και ενός δακτυλίου.
Δείξτε . Ισχύει πάντα η ισότητα;
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
3) Έστω μια ακέραια περιοχή ώστε κάθε γνησίως φθίνουσα ακολουθία ιδεωδών της είναι πεπερασμένη.
Δείξτε ότι το είναι σώμα.
Αποφανθείτε ότι κάθε πεπερασμένη ακέραια περιοχή είναι σώμα.
Δείξτε ότι το είναι σώμα.
Αποφανθείτε ότι κάθε πεπερασμένη ακέραια περιοχή είναι σώμα.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
4) Ταξινομήστε όλες τις ομάδες τάξης (ως προς ισομορφισμό), όπου πρώτος.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Μία προσπάθεια ... αν είναι λάθος σχωρέστε με ...!
Αρκεί να δείξουμε ότι κάθε στοιχείο έχει αντίστροφο. Υποθέτουμε ότι υπάρχει το οποίο δεν είναι αντιστρέψιμο. Προφανώς,
όπου το είναι το τελευταίο ιδεώδες στην αλυσίδα. Τώρα, το θα πρέπει να είναι ίσο με ένα από τα όπου . Από την άλλη όμως και . Άρα, για κάθε . Αν το δεν είναι μονάδα (unit) τότε επειδή , δηλ. για κάποιο . Τότε, η συνεπάγεται ότι , το οποίο αντιβαίνει στο γεγονός ότι το είναι μονάδα.
Ελπίζω να 'μαι σωστός!
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Καλημέρα. Λογικά, εννοείς, αμφίπλευρα ιδεώδη, οπότε δουλεύω με αυτά. Έστω το τυχόν , όπου . Για κάθε
ισχύει ότι και ταυτόχρονα (αφού ιδεώδη), άρα και επειδή υποομάδα του δακτυλίου με την πρόσθεση, παίρνουμε ότι
Συνεπώς, .
Δεν ισχύει πάντα η ισότητα: Πάμε στον αγαπημένο δακτύλιο των ακέραιων αριθμών. Θέτουμε . Ως γνωστόν, ενώ
και προφανώς ενώ .
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Υπόδειξη:
Δείξτε πρώτα ότι οι ομάδες αυτές είναι αβελιανές και μετά χρησιμοποιείστε γνωστό θεώρημα.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Όχι δεν αλλάζει κάτι. Θεώρησε τα ιδεώδη στον δακτύλιο .
Τότε τα είναι πρώτα, όμως και , άρα πάλι έχουμε .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τα θεωρήματα Sylow. .
Αυτή είναι η πιο δύσκολη από τις τέσσερις.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
5) Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός , ώστε να υπάρχουν τουλάχιστον τρεις μη ισομορφες ομάδες τάξης ;
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Έστω ομάδα με . Για το πλήθος των -Sylow υποομάδων της ισχύει και , οπότε , δηλαδή η έχει μοναδική υποομάδα τάξης , έστω . Με ίδιο σκεπτικό, υπάρχει μοναδική υποομάδα της τάξης , έστω . Συνεπώς, . Μάλιστα . Ας παρατηρήσουμε ότι για οποιαδήποτε ισχύει . Πράγματι, (εδώ χρησιμοποιηθήκε το γεγονός ότι κανονικές στη ), άρα , όπως θέλαμε. Τώρα, ορίζουμε την απεικόνιση η οποία είναι μορφισμός ομάδων αφού για κάθε . Είναι μονομορφισμός διότι αν με , τότε
Επιπλέον , οπότε η είναι και επί της . Τελικά, ισομορφισμός και συνεπώς
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Η δική μου η απόδειξη μοιάζει με τη δική σου πολύ.BAGGP93 έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 11, 2020 10:30 pmΈστω ομάδα με . Για το πλήθος των -Sylow υποομάδων της ισχύει και , οπότε , δηλαδή η έχει μοναδική υποομάδα τάξης , έστω . Με ίδιο σκεπτικό, υπάρχει μοναδική υποομάδα της τάξης , έστω . Συνεπώς, . Μάλιστα . Ας παρατηρήσουμε ότι για οποιαδήποτε ισχύει . Πράγματι, (εδώ χρησιμοποιηθήκε το γεγονός ότι κανονικές στη ), άρα , όπως θέλαμε. Τώρα, ορίζουμε την απεικόνιση η οποία είναι μορφισμός ομάδων αφού για κάθε . Είναι μονομορφισμός διότι αν με , τότε
Επιπλέον , οπότε η είναι και επί της . Τελικά, ισομορφισμός και συνεπώς
Λέμε ότι και οι μοναδικές κυκλικές υποομάδες τάξεων 5 και 7.
Θα δείξουμε ότι . Βλέπουμε εύκολα ότι τα . Άρα και ,άρα τελικά η τάξη του είναι 35.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Ωραίο. Πιο άμεσο.stranger έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 11, 2020 10:39 pmΗ δική μου η απόδειξη μοιάζει με τη δική σου πολύ.BAGGP93 έγραψε: ↑Τετ Νοέμ 11, 2020 10:30 pmΈστω ομάδα με . Για το πλήθος των -Sylow υποομάδων της ισχύει και , οπότε , δηλαδή η έχει μοναδική υποομάδα τάξης , έστω . Με ίδιο σκεπτικό, υπάρχει μοναδική υποομάδα της τάξης , έστω . Συνεπώς, . Μάλιστα . Ας παρατηρήσουμε ότι για οποιαδήποτε ισχύει . Πράγματι, (εδώ χρησιμοποιηθήκε το γεγονός ότι κανονικές στη ), άρα , όπως θέλαμε. Τώρα, ορίζουμε την απεικόνιση η οποία είναι μορφισμός ομάδων αφού για κάθε . Είναι μονομορφισμός διότι αν με , τότε
Επιπλέον , οπότε η είναι και επί της . Τελικά, ισομορφισμός και συνεπώς
Λέμε ότι και οι μοναδικές κυκλικές υποομάδες τάξεων 5 και 7.
Θα δείξουμε ότι . Βλέπουμε εύκολα ότι τα . Άρα και ,άρα τελικά η τάξη του είναι 35.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Μπορούμε και πιο εύκολα να το αποδείξουμε. Έχουμε ότι για κάθε διαιρέτη του 35 υπάρχει μοναδική υποομάδα τάξης .
Άρα η ομάδα είναι κυκλική.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
6) Έστω ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα, ώστε κάθε υποπρότυπο ενός ελεύθερου - προτύπου είναι ελεύθερο -πρότυπο.
Δείξτε ότι o είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.
Δείξτε ότι o είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Τετριμμένο είναι.
Δηλαδή κάποιος που γνωρίζει την σχετική θεωρία του είναι εντελώς άμεσο.
Αν κάποιος δεν γνωρίζει την θεωρία τότε πρέπει να κάνει την ταξινόμηση των ομάδων μέχρι τάξη
Το .
Οι τουλάχιστον τρεις είναι
Θεωρώ περιττό να αποδείξω ότι υπάρχει μοναδική ομάδα με στοιχεία και δύο ομάδες με
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Δεν νομίζω ότι είναι δύσκολη.
Και σίγουρα υπάρχει σε παρόμοια μορφή σε όλα τα βιβλία θεωρίας ομάδων.
Το γενικό είναι
Αν πρώτοι και ομάδα με
τότε
i)Αν
υπάρχουν δύο ομάδες μια κυκλική και μία μη αβελιανή
ii)Αν δεν ισχύει η υπάρχει μοναδική ομάδα που είναι κυκλική
Με συγκεκριμένα νούμερα όπως εδώ η απόδειξη είναι τελείως στοιχειώδη.
Συγκεκριμένα.
Αν η ομάδα έχει στοιχείο τάξης τελειώσαμε.
Εχει στοιχείο τάξης και στοιχείο τάξης
Δεν χρειάζεται Sylow.Απλό μέτρημα.
Αν π.χ όλα τα στοιχεία είχαν τάξη τότε οι ομάδα θα αποτελείτο από υποομάδες
τάξης .
Θα ήταν κλπ ΑΤΟΠΟ.
Εστω
Η είναι κανονική γιατί απο τον τύπο του μετρήματος για υποομάδες
είναι
Εστω στοιχείο τάξης
Θα είναι
και
προκύπτει ότι
οπότε
Αρα και είναι άμεσο ότι η ομάδα είναι κυκλική.
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Υπόδειξη: Ο είναι -πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό το γινόμενο στον .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες