Ασκήσεις Άλγεβρας
Συντονιστής: Demetres
-
- Δημοσιεύσεις: 67
- Εγγραφή: Πέμ Σεπ 14, 2017 5:59 pm
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Να δείξετε ότι η άπειρη κυκλική ομάδα δεν μπορεί να προκύψει ως ομάδα αυτομορφισμών κάποιας ομάδας.
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ομάδα τέτοια, ώστε . Άρα η ομάδα αυτομορφισμών της είναι κυκλική,giannispapav έγραψε: ↑Παρ Φεβ 26, 2021 9:38 amΝα δείξετε ότι η άπειρη κυκλική ομάδα δεν μπορεί να προκύψει ως ομάδα αυτομορφισμών κάποιας ομάδας.
κατά συνέπεια και η ομάδα εσωτερικών αυτομορφισμών είναι κυκλική, απ' όπου συμπεραίνουμε ότι η είναι αβελιανή, λόγω του
γνωστού ισομορφισμού . Εφ' όσον όμως η είναι αβελιανή, η απεικόνιση
είναι αυτομορφισμός της
. Παρατηρούμε ότι και
που σημαίνει ότι η έχει στοιχείο τάξης , άτοπο.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
-
- Δημοσιεύσεις: 67
- Εγγραφή: Πέμ Σεπ 14, 2017 5:59 pm
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Ωραία! Νομίζω λείπει μια λεπτομέρεια: γιατί ο με είναι διάφορος του ταυτοτικού; Δεν θα μπορούσε να είναι για κάθε ;BAGGP93 έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 27, 2021 12:49 amΑς υποθέσουμε ότι υπάρχει ομάδα τέτοια, ώστε . Άρα η ομάδα αυτομορφισμών της είναι κυκλική,giannispapav έγραψε: ↑Παρ Φεβ 26, 2021 9:38 amΝα δείξετε ότι η άπειρη κυκλική ομάδα δεν μπορεί να προκύψει ως ομάδα αυτομορφισμών κάποιας ομάδας.
κατά συνέπεια και η ομάδα εσωτερικών αυτομορφισμών είναι κυκλική, απ' όπου συμπεραίνουμε ότι η είναι αβελιανή, λόγω του
γνωστού ισομορφισμού . Εφ' όσον όμως η είναι αβελιανή, η απεικόνιση
είναι αυτομορφισμός της
. Παρατηρούμε ότι και
που σημαίνει ότι η έχει στοιχείο τάξης , άτοπο.
[Η γενική ιδέα είναι αυτή που γράψατε απλά αυτό νομίζω είναι το 2ο "δύσκολο" σημείο της άσκησης]
-
- Δημοσιεύσεις: 67
- Εγγραφή: Πέμ Σεπ 14, 2017 5:59 pm
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Έστω πεπερασμένη, μη τετριμμένη, ομάδα. Αν η δρα μεταβατικά στο τότε να δείξετε ότι για κάποιον πρώτο αριθμό .
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Έστω ένας ομομορφισμός πεπερασμένα παραγόμενων αλγεβρών πάνω από ένα σώμα . Έστω ένα μέγιστο ιδεώδες του . Να δειχθεί ότι και το είναι μέγιστο ιδεώδες του .
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Έστω ενα δακτύλιος που είναι reduced. Να δειχθεί ότι κάθε μηδενοδιαιρέτης του είναι στοιχείο ενός ελάχιστου πρώτου ιδεώδους.
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Καλημέρα. Νομίζω η απάντηση υπάρχει στο link της wiki που δώσατε.bouzoukman έγραψε: ↑Δευ Μαρ 22, 2021 10:35 pmΈστω ενα δακτύλιος που είναι reduced. Να δειχθεί ότι κάθε μηδενοδιαιρέτης του είναι στοιχείο ενός ελάχιστου πρώτου ιδεώδους.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Αλήθεια; Δεν το πρόσεξα. Έμεινα μόνο στις δύο πρώτες γραμμές του ορισμού... Σε κάθε περίπτωση είναι μία ενδιαφέρουσα άσκηση αν κάποιος θέλει να την προσπαθήσει μόνος του!BAGGP93 έγραψε: ↑Τρί Απρ 13, 2021 11:33 amΚαλημέρα. Νομίζω η απάντηση υπάρχει στο link της wiki που δώσατε.bouzoukman έγραψε: ↑Δευ Μαρ 22, 2021 10:35 pmΈστω ενα δακτύλιος που είναι reduced. Να δειχθεί ότι κάθε μηδενοδιαιρέτης του είναι στοιχείο ενός ελάχιστου πρώτου ιδεώδους.
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
27)
Έστω ένα αριθμητικό σώμα .
Δείξτε ότι υπάρχουν πεπερασμένες το πλήθος ρίζες της μονάδας στο .
Έστω ένα αριθμητικό σώμα .
Δείξτε ότι υπάρχουν πεπερασμένες το πλήθος ρίζες της μονάδας στο .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
28)
Έστω . Δείξτε ότι το είναι επιλύσιμο με ριζικά πάνω από το .
Έστω . Δείξτε ότι το είναι επιλύσιμο με ριζικά πάνω από το .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Από το θεώρημα de Moivre έχουμε ότι οι ρίζες είναι της μορφής . Για είναι . Όμοια παίρνουμε και τις άλλες ρίζες χρησιμοποιώντας τους τύπους και .
Νομίζω επαρκεί και δε περνάμε από θεωρία Galois.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Υπάρχει τυπογραφικό το οποίο όμως είναι ουσιαστικό.Tolaso J Kos έγραψε: ↑Τετ Μάιος 26, 2021 1:00 pm
Από το θεώρημα de Moivre έχουμε ότι οι ρίζες είναι της μορφής . Για είναι . Όμοια παίρνουμε και τις άλλες ρίζες χρησιμοποιώντας τους τύπους και .
Νομίζω επαρκεί και δε περνάμε από θεωρία Galois.
Είναι
οπότε δεν ισχύει
.
Η λύση είναι απλή και σε σχολικό επίπεδο.
Οι ρίζες είναι όπου
Αρα η το είναι ρίζα της
Αυτή είναι αντίστροφη και κατά τα γνωστά
κλπ.
Ηταν κάποτε σε σχολικό επίπεδο.Τώρα χωρίς μιγαδικούς...
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Τετ Μάιος 26, 2021 8:47 pmΥπάρχει τυπογραφικό το οποίο όμως είναι ουσιαστικό.Tolaso J Kos έγραψε: ↑Τετ Μάιος 26, 2021 1:00 pm
Από το θεώρημα de Moivre έχουμε ότι οι ρίζες είναι της μορφής . Για είναι . Όμοια παίρνουμε και τις άλλες ρίζες χρησιμοποιώντας τους τύπους και .
Νομίζω επαρκεί και δε περνάμε από θεωρία Galois.
Είναι
οπότε δεν ισχύει
.
Η λύση είναι απλή και σε σχολικό επίπεδο.
Οι ρίζες είναι όπου
Αρα η το είναι ρίζα της
Αυτή είναι αντίστροφη και κατά τα γνωστά
κλπ.
Ηταν κάποτε σε σχολικό επίπεδο.Τώρα χωρίς μιγαδικούς...
Σταύρο, έχεις δίκιο για το τυπογραφικό αλλά η φιλοσοφία δε βλέπω να αλλάζει. Βέβαια και . Άρα κτλ.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Δημοσιεύσεις: 125
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 7:53 pm
- Επικοινωνία:
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Ας πάμε με άτοπο!
'Εστω ότι υπάρχουν άπειρες το πλήθος ρίζες της μονάδας. Τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε μία γνωσίως αύξουσα ακολουθία από θετικούς ακεραίους για την οποία ισχύουν τα εξής:
(1) Εάν τότε .
(2) , όπου είναι μία -πρωταρχική ρίζα της μονάδας.
Έστω . Τότε από το (2) καταλαβαίνουμε ότι , οπότε . Όμως από το (1) καταλαβαίνουμε ότι που έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι .
"Υπάρχει αρκετό φως γι' αυτούς που επιθυμούν να δουν και αρκετό σκοτάδι γι' αυτούς που έχουν την αντίθετη επιθυμία", B. Pascal
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Πολύ ωραία λύση.bouzoukman έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 30, 2021 12:58 pmΑς πάμε με άτοπο!
'Εστω ότι υπάρχουν άπειρες το πλήθος ρίζες της μονάδας. Τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε μία γνωσίως αύξουσα ακολουθία από θετικούς ακεραίους για την οποία ισχύουν τα εξής:
(1) Εάν τότε .
(2) , όπου είναι μία -πρωταρχική ρίζα της μονάδας.
Έστω . Τότε από το (2) καταλαβαίνουμε ότι , οπότε . Όμως από το (1) καταλαβαίνουμε ότι που έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι .
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
29) Εξετάστε αν υπάρχει φυσικός αριθμός , έτσι ώστε να υπάρχουν άπειρες ομάδες(ως προς ισομορφισμό) με τάξη .
Σημείωση: Είναι αρκετά εύκολη.
Σημείωση: Είναι αρκετά εύκολη.
Κωνσταντίνος Σμπώκος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Είναι ο ορισμός του παρακάτω από τετριμμένη.
Σε κάθε σύνολο με στοιχεία ορίζονται πεπερασμένου πλήθους πράξεις.
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
Για το πρώτο, ισχύει γενικά πως αν , με , θα είναι . Συνεπώς, ως προς ισομορφισμό, υπάρχει μοναδική ομάδα τάξης 35, που είναι η .
Touya found Sai... Only I knew of Sai until now. But Sai... Touya's found you! He's found you!
Re: Ασκήσεις Άλγεβρας
30) Πόσες ανά δυο μη ισόμορφες ομάδες τάξης 7776 υπάρχουν;
Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης