Ύπαρξη ομάδων

Tolaso J Kos · #1

Υπάρχουν απλές ομάδες τάξης p(p+1)

όπου

πρώτος;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Απρ 21, 2021 4:00 pm
Υπάρχουν απλές ομάδες τάξης όπου πρώτος;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Ας δούμε μια απόδειξη ότι η

δεν είναι απλή. Έστω

μια ομάδα τάξης p(p+1)

.

Έστω

το πλήθος των Sylow

-υποομάδων της

. Από τα θεωρήματα Sylow, $n_p \equiv 1 \bmod p$ . Άρα n_p = 1

ή

. Δεν μπορούμε να έχουμε $n_p \geqslant 2p+1$ αφού τότε θα είχαμε $|G| \geqslant 1 + 2p^2 > p(p+1)$ .

Αν n_p = 1

, τότε η

έχει μόνο μια υποομάδα τάξης

, έστω την

. Επειδή η $g^{-1}Hg$ είναι επίσης υποομάδα τάξης

, τότε $g^{-1}Hg = H$ για κάθε $g \in G$ , άρα η

είναι κανονική υποομάδα της

και άρα η

δεν είναι απλή.

Αν n_p = p+1

τότε η

έχει

στοιχεία τάξης

. Άρα έχει και

μη τετριμμένα στοιχεία τάξης διάφορης του

, έστω τα $x_1,\ldots,x_p$ . Θα δείξουμε ότι όλα αυτά τα στοιχεία είναι συζυγή. Αν το δείξουμε αυτό τότε μπορούμε να τελειώσουμε ως εξής: Έστω

πρώτος ώστε q|p+1

. Τότε ένα από τα x_i

θα έχει τάξη

, άρα (αφού είναι συζυγή) όλα θα έχουν τάξη

. Άρα το

διαιρείται μόνο από έναν πρώτο

, δηλαδή είναι δύναμη πρώτου, έστω p+1 = q^m

. Πάλι από τα Θεωρήματα Sylow υπάρχει Sylow

-υποομάδα μεγέθους q^m

η οποία πρέπει να είναι μοναδική αφού υπάρχουν μόνο p+1 = q^m

στοιχεία τάξης διάφορης του

. Όπως και στην προηγούμενη παράγραφο καταλήγουμε στο ότι η

δεν είναι απλή.

Μένει λοιπόν να δείξουμε ότι τα $x_1,\ldots,x_p$ είναι συζυγή. Έστω

μια Sylow

-υποομάδα. Κοιτάζουμε το σύνολο $A = \{gx_1g^{-1}:g \in P\}$ . Αν το σύνολο περιέχει λιγότερα από

στοιχεία, τότε υπάρχουν $g_1,g_2 \in P$ με $g_1 \neq g_2$ ώστε $g_1x_1g_1^{-1} = g_2x_1g_2^{-1}$ το οποίο δίνει gx_1 = xg_1

όπου $g = g_2^{-1}g_1 \in P$ . Επειδή $g \neq 1$ και

κυκλική το

είναι γεννήτορας της

και άρα $x_1Px_1^{-1} = P$ . Όμως από τα θεωρήματα Sylow έχουμε |N_G(P)| = |G|/n_p = p

. Δηλαδή υπάρχουν ακριβώς

στοιχεία $g \in G$ ώστε gP = Pg

τα οποία δεν μπορεί να είναι άλλα από τα στοιχεία του

. Αυτό αντιβαίνει στο x_1P = Px_1

το οποίο έχουμε δείξει.

Επομένως το σύνολο

πιο πάνω έχει

στοιχεία τα οποία δεν μπορεί να είναι άλλα από τα $x_1,\ldots,x_p$ αφού είναι τα μόνα μη τετριμμένα στοιχεία με τάξη διάφορη του

. Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Ίσως να υπάρχει κάτι πιο σύντομο στην περίπτωση n_p = p+1

αλλά δεν το βλέπω.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Demetres έγραψε: ↑
Παρ Απρ 23, 2021 1:37 pm
Ας δούμε μια απόδειξη ότι η δεν είναι απλή. Έστω μια ομάδα τάξης .

Έστω το πλήθος των Sylow -υποομάδων της . Από τα θεωρήματα Sylow, $n_p \equiv 1 \bmod p$ . Άρα ή . Δεν μπορούμε να έχουμε $n_p \geqslant 2p+1$ αφού τότε θα είχαμε $|G| \geqslant 1 + 2p^2 > p(p+1)$ .

Αν , τότε η έχει μόνο μια υποομάδα τάξης , έστω την . Επειδή η $g^{-1}Hg$ είναι επίσης υποομάδα τάξης , τότε $g^{-1}Hg = H$ για κάθε $g \in G$ , άρα η είναι κανονική υποομάδα της και άρα η δεν είναι απλή.

Αν τότε η έχει στοιχεία τάξης . Άρα έχει και μη τετριμμένα στοιχεία τάξης διάφορης του , έστω τα $x_1,\ldots,x_p$ . Θα δείξουμε ότι όλα αυτά τα στοιχεία είναι συζυγή. Αν το δείξουμε αυτό τότε μπορούμε να τελειώσουμε ως εξής: Έστω πρώτος ώστε . Τότε ένα από τα θα έχει τάξη , άρα (αφού είναι συζυγή) όλα θα έχουν τάξη . Άρα το διαιρείται μόνο από έναν πρώτο , δηλαδή είναι δύναμη πρώτου, έστω . Πάλι από τα Θεωρήματα Sylow υπάρχει Sylow -υποομάδα μεγέθους η οποία πρέπει να είναι μοναδική αφού υπάρχουν μόνο στοιχεία τάξης διάφορης του . Όπως και στην προηγούμενη παράγραφο καταλήγουμε στο ότι η δεν είναι απλή.

Μένει λοιπόν να δείξουμε ότι τα $x_1,\ldots,x_p$ είναι συζυγή. Έστω μια Sylow -υποομάδα. Κοιτάζουμε το σύνολο $A = \{gx_1g^{-1}:g \in P\}$ . Αν το σύνολο περιέχει λιγότερα από στοιχεία, τότε υπάρχουν $g_1,g_2 \in P$ με $g_1 \neq g_2$ ώστε $g_1x_1g_1^{-1} = g_2x_1g_2^{-1}$ το οποίο δίνει όπου $g = g_2^{-1}g_1 \in P$ . Επειδή $g \neq 1$ και κυκλική το είναι γεννήτορας της και άρα $x_1Px_1^{-1} = P$ . Όμως από τα θεωρήματα Sylow έχουμε . Δηλαδή υπάρχουν ακριβώς στοιχεία $g \in G$ ώστε τα οποία δεν μπορεί να είναι άλλα από τα στοιχεία του . Αυτό αντιβαίνει στο το οποίο έχουμε δείξει.

Επομένως το σύνολο πιο πάνω έχει στοιχεία τα οποία δεν μπορεί να είναι άλλα από τα $x_1,\ldots,x_p$ αφού είναι τα μόνα μη τετριμμένα στοιχεία με τάξη διάφορη του . Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Ίσως να υπάρχει κάτι πιο σύντομο στην περίπτωση αλλά δεν το βλέπω.

Η δική μου απόδειξη είναι παρόμοια.
Η διαφορά από την απόδειξη του Δημήτρη είναι ότι δείχνω
$C(x_1)=\left \{ t\in G:tx_1=x_1t \right \}=\left \{ e,x_1,....x_p \right \}$

οπότε επειδή είναι συζυγή αποτελούν κανονική υποομάδα.

Η απόδειξη του Δημήτρη δίνει επιπλέον πληροφορίες για της ομάδες τάξης p(p+1)

.
Συγκεκριμένα η σχέση p+1 = q^m

για

δίνει ότι θα πρέπει
q=2

και

πρώτος.
Δηλαδή ο

είναι πρώτος του Mersenne.

Ετσι μπορούμε να πούμε ότι αν ο

δεν είναι πρώτος του Mersenne,αλλά πρώτος
τότε κάθε ομάδα με p(p+1)

στοιχεία
έχει μοναδική υποομάδα με

στοιχεία.

giannispapav · #5

Άλλη μια προσπάθεια (αν και έχει περάσει αρκετός καιρός ...)

Στην περίπτωση που έχουμε n_p=p+1

τότε θα είναι N_G(P)=P

. Άρα μπορούμε να εφαρμόσουμε το Normal Complement Theorem του Burnside οπότε υπάρχει κανονική υποομάδα $N\lhd G$ έτσι ώστε G=NP

και $N\cap P=1$ . Συνεπώς |N|=p+1

και άρα η

δεν είναι απλή.

https://ysharifi.wordpress.com/2011/01/ ... theorem-3/

Ύπαρξη ομάδων

Ύπαρξη ομάδων

Re: Ύπαρξη ομάδων

Re: Ύπαρξη ομάδων

Re: Ύπαρξη ομάδων

Re: Ύπαρξη ομάδων

Μέλη σε σύνδεση