Τελευταίο θεώρημα Fermat ... για πίνακες

Συντονιστής: Demetres

Απάντηση

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 1 δημοσίευση • Σελίδα 1 από 1

Tolaso J Kos: Δημοσιεύσεις: 5563; Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm; Τοποθεσία: International; Επικοινωνία:
Επικοινωνία Tolaso J Kos

Ιστοσελίδα Facebook

Τελευταίο θεώρημα Fermat ... για πίνακες

Παράθεση

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Οκτ 09, 2023 4:10 pm

Έστω

οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος αριθμός. Συμβολίζουμε με $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ το δακτύλιο των $n \times n$ πινάκων με ακέραια στοχεία. Ορίζουμε τη συνάρτηση $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$

$\displaystyle{ f(a)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end{pmatrix}}$

Να δειχθεί ότι $\det f(a) = (-1)^{n-1}a$ .
Να δειχθεί ότι $\left ( f(a) \right )^n = a \cdot \mathbb{I}_{n \times n}$ .
Έστω $\alpha, \beta$ θετικοί ακέραιοι. Ορίζουμε $A = f \left ( (-1)^{n-1} \alpha \right )$ , $B = f \left ( (-1)^{n-1} \beta \right )$ και $\Gamma = f \left ( (-1)^{n-1} (\alpha + \beta) \right )$ . Να δειχθεί ότι $A^n + B^n = \Gamma^n$ .