Ένα πεπερασμένο άθροισμα

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\cos \theta + \cos \frac{2 k \pi}{2n+1}} = \left [ \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \tan \left( \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \theta \right) - \frac{1}{2} \tan \frac{\theta}{2} \right ] \csc \theta}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 06, 2024 5:42 pm
Να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\cos \theta + \cos \frac{2 k \pi}{2n+1}} = \left [ \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \tan \left( \left ( n + \frac{1}{2} \right ) \theta \right) - \frac{1}{2} \tan \frac{\theta}{2} \right ] \csc \theta}$

.
Τόλη,

είτε δεν βλέπω κάτι ή ο τύπος είναι εσφαλμένος. Π.χ. για n=1

ισχυρίζεται ότι

$\dfrac{1}{\cos \theta + \cos \frac{2 \pi}{3}} = \left [ \frac{3}{2} \tan \left( \frac{3}{2} \theta \right) - \frac{1}{2} \tan \frac{\theta}{2} \right ] \csc \theta}$

Ισοδύναμα (αφού πρώτα πολλαπλασιάσω επί $\sin \theta$ ) έχουμε

$\dfrac{\sin \theta }{\cos \theta + \cos \frac{2 \pi}{3}} + \frac{1}{2} \tan \frac{\theta}{2}= \frac{3}{2} \tan \left( \frac{3}{2} \theta \right)$

Πάρε τώρα όριο $\theta \to \frac {\pi}{3}$ οπότε και $\frac{3}{2} \theta \to \frac {\pi}{2}$ . Τότε το μεν αριστερό μέλος τείνει στο

$\dfrac{\frac {\sqrt 3}{2} }{\frac {1}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \frac{\sqrt 3 }{3}= \frac{2\sqrt 3 }{3}$ ενώ το δεξί μέλος τείνει στο $+\infty$ . Άτοπο.

Tolaso J Kos · #3

Μιχάλη,

έχω για αυτό απάντηση.

#4

Τόλη, θα το κοιτάξω.

Πάντως άλλο λέει αυτό που παρέθεσες τώρα, και άλλο αυτό έγραψες στο ποστ #1. Η διαφορά είναι μικρή αλλά φαίνεται ότι είναι ουσιαστική.

Tolaso J Kos · #5

Μιχάλη, δε βλέπω τη διαφορά.

#6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 30, 2024 1:16 pm
Μιχάλη, δε βλέπω τη διαφορά.

Τόλη,

η διαφορά είναι ότι το αριστερό μέλος έχει "συν ή πλην" αλλά στο ποστ #1 έγραψες μόνο το "συν". Το πρόβλημα είναι ότι το άθροισμα με το "συν" έχει ως απάντηση την δεύτερη γραμμή στο δεξί μέλος της σωστής άσκησης, αλλά στο ποστ #1 έγραψες την πρώτη.

Αν κοιτάξεις το αριθμητικό παράδειγμα που έβαλα ποστ #2 (όπου δείχνω ότι η πρώτη γραμμή στο δεξί μέλος δεν ταιριάζει), θα διαπιστώσεις ότι η δεύτερη γραμμή ταιριάζει: Και τα δύο μέλη δίνουν $\frac {2\sqrt 3}{3}$ .

Με άλλα λόγια είτε α) πρέπει το "συν" αριστερά να γίνει "πλην" ή β) να διορθώσεις το δεξί μέλος και να το κάνεις όπως στην δεύτερη γραμμή της εκφώνησης που παρέθεσες. Το ευκολότερο είναι το α).

Tolaso J Kos · #7

Τώρα το κατάλαβα. Νόμισα ότι το

πάει στο πρώτο κλάδο. Έχω λύση για την άσκηση.

#8

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 30, 2024 4:24 pm
Έχω λύση για την άσκηση.

Τόλη,

Ούτε τώρα πιστεύω ότι είναι σωστή η (τροποποιημένη) εκφώνηση, εκτός αν κάνω λάθος τις πράξεις. Για παράδειγμα, αν $n=1, \theta = \frac {\pi}{4}$ , το αριστερό μέλος είναι

$\displaystyle{\dfrac{1}{\cos \frac {\pi}{4} + \cos \frac{2 \cdot 1 \cdot \pi}{2\cdot 1+1}} \approx \dfrac{1}{0,707 -0,5}\approx 4,82 }$

ενώ το δεξί είναι

$\displaystyle{ \left [ \frac{1}{2} \cot \frac {\pi}{8} - \frac{3}{2} \cot \left( \frac{3}{2}\frac {\pi}{4} \right ) \right ]\csc \frac {\pi}{4}\approx \left [ \frac{2,414}{2} - \frac{3\cdot 0,414 }{2} \right ]\cdot 1,414 \approx 0,82}$

Δηλαδή δεν ειναι ίσα.

Από την λίγη προεργασία που έκανα, οι δύο απαντήσεις διαφέρουν (ακριβώς) κατά

. Επειδή αυτό είναι ακέραιος, δεν μπορεί να είναι σύμπτωση.

Μπορείς να δεις την λύση σου για να εξακριβώσεις αν είναι σωστή ή αν θέλει τροποποίηση που να αιτιολογεί το

που λέω ότι λείπει;

Ένα πεπερασμένο άθροισμα

Ένα πεπερασμένο άθροισμα

Re: Ένα πεπερασμένο άθροισμα

Re: Ένα πεπερασμένο άθροισμα

Re: Ένα πεπερασμένο άθροισμα

Re: Ένα πεπερασμένο άθροισμα

Re: Ένα πεπερασμένο άθροισμα

Re: Ένα πεπερασμένο άθροισμα

Re: Ένα πεπερασμένο άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση