Άλλη μια με βάσεις Hamel

#1

Βαζω δύο ερωτήματα:

1) Υπάρχει βάση Hamel που να είναι πυκνή στο $\mathbb{R}$ ;

2) Υπάρχει βάση Hamel που να είναι πουθενά πυκνή (nowhere dense);

#2

Δημήτρη η απάντηση και στα δύο ερωτήματα είναι καταφατική. Δεν έχω όμως δικές μου κατασκευές-αποδείξεις αλλά συμβαίνει να τις έχω διαβάσει. Γιαυτό δεν γράφω τίποτε μιας και ισως κάποιος φίλος θέλει να γράψει κάτι δικό του. Πάντως το θέμα των βάσεων Hamel εκπέμπει μία γοητεία. Οπότε τα ξαναλέμε.
Μαυρογιάννης

#3

Καλή σας μέρα
Όπως ανέφερα σε προηγούμενο μήνυμα μου οι παρακάτω λύσεις στις ασκήσεις του Δημήτρη δεν είναι δικές μου αλλά τις έχω διαβάσει. Τις γράφω περισσότερο για λόγους «γραμματειακής υποστήριξης» δηλαδή να μην υπάρχουν εκκρεμότητες με ασκήσεις χωρίς απάντηση.

Για το 1. Το σύνολο όλων των διαστημάτων με ρητά άκρα είναι αριθμήσιμο.
'Εστω $I_{1},I_{2},...$ μία αρίθμηση του. Αν έχουμε ένα σύνολο $S=\left\{ t_{1},t_{2},...\right\}$ με $t_{1}\in I_{1},t_{2}\in I_{2},...$ τότε το

είναι πυκνό.
Θεωρούμε τώρα μία οποιαδήποτε βάση Hamel. Θα «πειράξουμε’ την βάση ώστε να μεταβληθεί σε ένα πυκνό σύνολο.
Αυτή θα έχει άπειρα στοιχεία και επομένως θα περιέχει ένα αριθμήσιμο υποσύνολο. 'Αρα η συγκεκριμένη βάση μπορεί να γραφεί σαν ένωση $A\cup B$ με το

να είναι αριθμήσιμο. Ας πούμε ότι $A=\left\{ a_{1},a_{2},...\right\}$ . Tα ρητά πολλαπλάσια του $a_{1}$ (που βέβαια είναι $\neq 0$ ) είναι σύνολο πυκνό και επομένως υπάρχει κάποιο που ανήκει στο $I_{1}$ .. Επομένως υπάρχουν ρητοί αριθμοί $\lambda _{1},\lambda _{2},...$ ώστε τα $\lambda _{1}a_{1},\lambda _{2}a_{2},...$ να ανήκουν στα $I_{1},I_{2},...$ .
Το σύνολο $\left\{ \lambda _{1}a_{1},\lambda _{2}a_{2},...\right\} \cup B$ εξακολουθεί να είναι βάση που όμως είναι πυκνή διότι το υποσύνολο της $\left\{ \lambda _{1}a_{1},\lambda _{2}a_{2},...\right\}$ είναι πυκνό.
Με άλλα λόγια πήραμε ένα αριθμήσιμο γραμμικώς ανεξάρτητο σύνολο το μετατρέψαμε σε ένα γραμμικώς ανεξάρτητο πυκνό σύνολο και το επεκτείναμε σε βάση.

Για το 2. Θεωρούμε το σύνολο

του Cantor δηλαδή το σύνολο εκείνων των αριθμών του διαστήματος [0,1]

που στην τριαδική τους παράσταση δεν περιέχουν το ψηφίο 1 (δηλαδή είναι της μορφής $0,x_{1}x_{2}x_{3}....$ με τα $x_{i}$ να είναι 0 ή 2. Το σύνολο αυτό είναι πουθενά πυκνό δηλαδή δεν υπάρχει διάστημα

ώστε το $C\cap I$ να είναι πυκνό στο

. Αυτό διότι σε κάθε διάστημα θα υπάρχουν αριθμοί που στην τριαδική τους παράσταση να περιέχουν το ψηφίο 1. Θα δείξουμε ότι το

είναι παράγον σύνολο του $\mathbb{R}$ δηλαδή ότι κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να είνα γραμμικός συνδυασμός στοιχείων του

. Αυτό διότι και μόνο προσθέτοντας στοιχεία του

μπορούμε να φτιάξουμε το [0,1]

συγκεκριμένα κάθε στοιχείο του [0,1]

μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο αριθμών που στην τριαδική τους παράσταση δεν έχουν 1. Επομένως πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία του C+C

με ακεραίους φτιάχνουμε το $\mathbb{R}$ . 'Ομως κάθε παράγον σύνολο περιέχει μία βάση. Συνεπώς θα υπάρχει ένα υποσύνολο

του συνόλου του Cantor που θα είναι μία πουθενά πυκνή βάση.

Μαυρογιάννης

#4

Ακριβώς τις ίδιες λύσεις λύσεις γνώριζα και εγώ. Η (1) θεωρώ πως δεν είναι δύσκολο να την σκεφτεί κάποιος. Η (2) μου φαίνεται απίστευτα έξυπνη και δεν βλέπω πως κάποιος θα μπορούσε να την σκεφτεί. Ήλπιζα να μάθω μια διαφορετική λύση για την (2) αλλά δεν πέτυχε το κόλπο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 26, 2009 9:25 pm
Βαζω δύο ερωτήματα:

1) Υπάρχει βάση Hamel που να είναι πυκνή στο $\mathbb{R}$ ;

2) Υπάρχει βάση Hamel που να είναι πουθενά πυκνή (nowhere dense);

Το βρήκα στο Google αναζητώντας Hamel βάσεις.

Για το δεύτερο υπάρχει λύση χωρίς το σύνολο Cantor.
Η σπουδαιότητα του Cantor είναι στο να αποδείξουμε ότι υπάρχει Hamel βάση που έχει μέτρο Lebesgue

.

Είναι γνωστό από την Θεωρία Μέτρου ότι αν ενα σύνολο

έχει θετικό μέτρο τότε το σύνολο A-A

περιέχει διάστημα.
Αμεση συνέπεια αυτού είναι ότι σε κάθε σύνολο θετικού μέτρου μπορούμε να βρούμε ένα υποσύνολο του που να είναι Hamel
βάση .
Αρκεί λοιπόν να βρούμε ένα σύνολο θετικού μέτρου που να είναι nowhere dense.
Το πιο απλό κατά με είναι:
Αν $q_{n},n\in \mathbb{N}$
είναι μια αρίθμηση των ρητών και $\epsilon > 0$
το
$A=\mathbb{R}-\cup _{n\in \mathbb{N}}(q_{n}-\frac{\epsilon }{2^{n}},q_{n}+\frac{\epsilon }{2^{n}})$
είναι πουθενά πυκνό και έχει μέτρο $\infty$

Άλλη μια με βάσεις Hamel

Άλλη μια με βάσεις Hamel

Re: Άλλη μια με βάσεις Hamel

Re: Άλλη μια με βάσεις Hamel

Re: Άλλη μια με βάσεις Hamel

Re: Άλλη μια με βάσεις Hamel

Μέλη σε σύνδεση