Συνδυαστική 2 (combinatorics) - Σουρεαλιστική

[csar]

Μία αράχνη έχει οκτώ κάλτσες και οκτώ παπούτσια (όσα δηλαδή και τα πόδια της). Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να τα φορέσει;

Προσθήκη μετά από σχόλια:
- "Διαφορετικοί τρόποι" είναι η σειρά με την οποία ντύνει τα πόδια της. π.χ. "κάλτσα στο πόδι 1, παπούτσι στο πόδι 1, κλπ." είναι διαφορετικός τρόπος από "κάλτσα στο πόδι 1, κάλτσα στο πόδι 2, κλπ".
- Για να φορέσει παπούτσι σε κάποιο πόδι, πρέπει προηγουμένως να έχει φορέσει κάλτσα.



Χ

[Mihalis_Lambrou]

Μία αράχνη έχει οκτώ κάλτσες και οκτώ παπούτσια (όσα δηλαδή και τα πόδια της). Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να τα φορέσει;

Μήπως παραείναι απλή και γνωστή για επίπεδο Ολυμπιάδων;

Τα παπούτσια φοριούνται με τρόπους. Άλλοι τόσοι οι κάλτσες. Σύνολο

Μ

[Demetres]

Στην μορφή που το έχω ακούσει εγώ η αράχνη για κάθε πόδι έχει συγκεκριμένο παπούτσι και κάλτσα που πρέπει να φορέσει. Δυο τρόποι θεωρούνται διαφορετικοί αν τα παπούτσια/κάλτσες φορεθούν με διαφορετική σειρά. Εννοείτε ότι σε κάθε πόδι η κάλτσα πρέπει να φορεθεί πριν το παπούτσι.

[csar]

Βλέπω ότι η άσκηση δεν είναι απόλυτα σαφής έτσι όπως είναι γραμμένη. Για αυτό πρόσθεσα στην εκφώνηση τις παρακάτω διευκρινίσεις:

- "Διαφορετικοί τρόποι" είναι η σειρά με την οποία ντύνει τα πόδια της. π.χ. "κάλτσα στο πόδι 1, παπούτσι στο πόδι 1, κλπ." είναι διαφορετικός τρόπος από "κάλτσα στο πόδι 1, κάλτσα στο πόδι 2, κλπ".
- Για να φορέσει παπούτσι σε κάποιο πόδι, πρέπει προηγουμένως να έχει φορέσει κάλτσα (όπως σχολίασε και ο Demetres).

Χ

[csar]

Δε βλέπω κινητικότητα, για αυτό παραθέτω τη λύση.

Ας είναι το γεγονός {φοράει κάλτσα στο πόδι } και το γεγονός {φοράει παπούτσι στο πόδι }. Τότε όλες οι δυνατές περιπτώσεις είναι οι μεταθέσεις των που είναι 16!.

Όμως θέλουμε το να προηγείται του . Αυτό συμβαίνει ακριβώς στις μισές περιπτώσεις (λόγω συμμετρίας, στις μισές περιπτώσεις προγείται το του και στις άλλες μισές προηγείται το του ). Άρα οι ευνοϊκές περιπτώσεις γίνονται τώρα .

Επίσης θέλουμε το να προηγείται του , που πάλι συμβαίνει στις μισές (από τις εναπομείνασες) περιπτώσεις. Άρα οι ευνοϊκές περιπτώσεις είναι τώρα .

Συνεχίζοντας έτσι, τελικά οι ευνοϊκές περιπτώσεις είναι .

Το πρόβλημα είναι από το βιβλίο "102 combinatorial problems" των T. Andreescu & Z Feng.

Χ