ΣΥΣΤΗΜΑ

nikoszan · #1

Να λυθεί το σύστημα:
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} xy + yz + zx = xyz \\ {x^2} + {y^2} + {z^2} = 3\left( {x + y + z} \right) \\ \left( {x,y,z > 0} \right) \\ \end{array} \right.}$
Ν.Ζ.

#2

$\displaystyle{\bullet ~9(x+y+z)=3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2\implies x+y+z\leq 9\stackrel{AM-GM}{\implies} 9\geq 3\sqrt[3]{xyz}\implies \boxed{xyz\leq 27}}$

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{xyz=xy+yz+zx\stackrel{AM-GM}{\geq}3\sqrt[3]{(xyz)^2}\implies \boxed{xyz\geq 27.}}$

Άρα $\displaystyle{xyz=27}$ και επομένως ισχύει η ισότητα σε όλες τις ενδιάμεσες ανισότητες. Επομένως $\displaystyle{x=y=z}$ και πλέον πολύ εύκολα βρίσκουμε $\displaystyle{x=y=z=3.}$

Προφανώς η τριάδα αυτή ικανοποιεί τις εξισώσεις.

Δημήτρης Μυρογιάννης · #3

Προσθέτοντας κατά μέλη (αφού η πρώτη πολλαπλασιαστεί επί

) λαμβάνουμε:

$\displaystyle{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}=2xyz+3\left( x+y+z \right)~~~~\left( 1 \right).}$

Από την πρώτη παίρνουμε:

$\displaystyle{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\overset{AM-GM}{\mathop{\overset{}{\mathop{\Rightarrow }}\,}}\,1\ge \frac{3}{{{\left( xyz \right)}^{\frac{1}{3}}}~}\Rightarrow xyz\ge 27~~~~~~~~\left( 2 \right).}$

Από την πρώτη (σειρά) του Θάνου παίρνουμε

$\displaystyle{x+y+z\le 9~~~~~~~\left( 3 \right)~.}$

Θέτουμε (αξιοποιώντας τις (2),(3)

):

$x+y+z=a~~\mu \varepsilon ~~0<a\le 9$ και $xyz=b~~\mu \varepsilon ~~b\ge 27$ οπότε η $\left( 1 \right)$ γράφεται:

$\displaystyle{{{a}^{2}}-3a=2b\Rightarrow }$

$\displaystyle{{{a}^{2}}-3a-54=2\left( b-27 \right)\Rightarrow }$

$\displaystyle{\left( a+6 \right)\left( a-9 \right)=2\left( b-27 \right)~.}$

Όμως το πρώτο μέλος της προηγούμενης είναι μη θετικό και το δεύτερο μη αρνητικό για κάθε τιμή των a,b

οπότε δεν μπορεί παρά να είναι $a=9~~\bigwedge ~~b=27$ .

Τώρα από τις δοσμένες άμεσα έχουμε:

$\displaystyle{\left\{ \begin{matrix} xy+yz+xz=27 \\ \kappa \alpha \iota \\ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=27 \\ \end{matrix} \right.~~.}$

Είναι:

$\displaystyle{{{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( x-z \right)}^{2}}+{{\left( y-z \right)}^{2}}=2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)-2\left( xy+yz+xz \right)=0~\Rightarrow }$

$\displaystyle{x=y=z=3~}$ που επαληθεύει...

ΣΥΣΤΗΜΑ

ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Μέλη σε σύνδεση