Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Ορέστης Λιγνός · #2601

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1358 : Δίνεται ο αριθμός $\displaystyle{a=3777...79 - 39}$ , όπου τα εφτάρια είναι στο πλήθος.

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός αυτός διαιρείται με το

Πολύ όμορφη άσκηση!

Έχουμε $a=377 \ldots 740$ , όπου τα εφτάρια είναι 2016

.

Θα δείξουμε ότι ο $b=377 \ldots 74$ διαιρείται από

και τελειώσαμε.

Είναι

$b=3 \cdot 10^{2017}+7 \cdot 10^{2016}+ \ldots + 7 \cdot 10+4$ .

Έχουμε τώρα

$3 \cdot 10^{2017}=30 \cdot 10^{2016}$

$7 \cdot 10^{2016}=4 \cdot 10^{2016}+3 \cdot 10^{2016}= 4 \cdot 10^{2016}+30 \cdot 10^{2015}$

$7 \cdot 10^{2015}=4 \cdot 10^{2015}+30 \cdot 10^{2014}$

....

$7 \cdot 10^2= 4 \cdot 10^2+3 \cdot 10^2= 4 \cdot 10^2+30 \cdot 10$

$7 \cdot 10=4 \cdot 10 +3 \cdot 10= 4 \cdot 10+30$

Προσθέτουμε όλες αυτές κατά μέλη και παίρνουμε όλους τους όρους ανά δύο, π.χ. $30 \cdot 10^{2016}+4 \cdot 10^{2016}$ κλπ και
παίρνουμε $b=34(10^{2016}+10^{2015}+ \ldots + 1)$ , που προφανώς διαιρείται από το

#2602

Ορέστης Λιγνός έγραψε: Θα δείξουμε ότι ο $b=377 \ldots 74$ διαιρείται από και τελειώσαμε.

Πολύ κομψή η λύση του Ορέστη. Για όφελος των μικρών μας μαθητών παρατηρείστε ότι ουσιαστικά αυτό που γράφει είναι ότι ο αριθμός που προκύπτει από πρόσθεση κατά μέλη ως

3400000000...0

..

...

.............
+................

---------------------------
377777777..74

είναι πολλαπλάσιο του

(και του

) ανεξάρτητα από πόσα επτάρια έχουμε.

#2603

Αν

διαφορετικοί μεταξύ τους ακέραιοι και η εξίσωση $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d){\color {red}-}4=0$ έχει ακέραια λύση r, δείξτε ότι 4r=a+b+c+d

(Ας την αφήσουμε μια δυο μέρες για τους μικρούς μας μαθητές)

Σχόλιο: Η άσκηση δεν έχει να κάνει με τύπους Vieta, που θεωρώ ότι ο μέσος μαθητής Γυμνασίου δεν τους γνωρίζει.

Edit: Διόρθωσα τυπογραφικό. Ευχαριστώ τον Δημήτρη (JimNt.) για την επισήμανση.

Τσιαλας Νικολαος · #2604

Άσκηση 1360

Έστω 9 σημεία ( ανά τρία μη συνευθειακά ) μέσα σε ένα τετράγωνο πλευράς 1. Αποδείχτε ότι μπορούμε να βρούμε πάντα 3 σημεία από αυτά, τέτοια ώστε το τρίγωνο που σχηματίζουν να έχει εμβαδό μικρότερο του 1/8 ( ένα όγδοο ).

Αφιερωμένη στον φίλτατο Ορέστη Λιγνό

#2605

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:Άσκηση 1360

Έστω 9 σημεία ( ανά τρία μη συνευθειακά ) μέσα σε ένα τετράγωνο πλευράς 1. Αποδείχτε ότι μπορούμε να βρούμε πάντα 3 σημεία από αυτά, τέτοια ώστε το τρίγωνο που σχηματίζουν να έχει εμβαδό μικρότερο του 1/8 ( ένα όγδοο ).

Χωρίζουμε το τετράγωνο σε

ίσα τετράγωνα σχεδιάζοντας τους δύο άξονες συμμετρίας που περνάνε από τα μέσα των πλευρών του. Αφού τα σημεία είναι

, θα υπάρχει κάποιο από τα τετράγωνα αυτά που περιέχει τουλάχιστον

από τα σημεία (γιατί αν το καθένα περιείχε το πολύ δύο, τα σημεία θα ήσαν $\le 8$ ).

To τρίγωνο που σχηματίζουν τα εν λόγω σημεία έχει εμβαδόν λιγότερο από το μισό του τετραγώνου που το περιέχει (άμεσο), άρα < 1/8

.

harrisp · #2606

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:Άσκηση 1360

Έστω 9 σημεία ( ανά τρία μη συνευθειακά ) μέσα σε ένα τετράγωνο πλευράς 1. Αποδείχτε ότι μπορούμε να βρούμε πάντα 3 σημεία από αυτά, τέτοια ώστε το τρίγωνο που σχηματίζουν να έχει εμβαδό μικρότερο του 1/8 ( ένα όγδοο ).

Αφιερωμένη στον φίλτατο Ορέστη Λιγνό

Εύκολα το πρόβλημα ανάγεται στο εξής:

Να αποδειχθεί οτι σε ενα τετράγωνο με πλευρά 1/2

το μέγιστο εμβαδον τριγώνου που μπορεί να σχήματιστει ειναι λιγότερο απο 1/8

Εύκολα όμως παίρνουμε οτι (διασθητικα) το μεγαλύτερο εμβαδον σχηματίζεται αν οι τρεις κορυφές βρίσκονται στις κορυφές του τετραγώνου, οποτε το μισό εμβαδον αρα 1/8

Edit: με πρόλαβε ο κύριος Μιχάλης

harrisp · #2607

Mihalis_Lambrou έγραψε:Αν διαφορετικοί μεταξύ τους ακέραιοι και η εξίσωση $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d){\color {red}-}4=0$ έχει ακέραια λύση r, δείξτε ότι

(Ας την αφήσουμε μια δυο μέρες για τους μικρούς μας μαθητές)

Σχόλιο: Η άσκηση δεν έχει να κάνει με τύπους Vieta, που θεωρώ ότι ο μέσος μαθητής Γυμνασίου δεν τους γνωρίζει.

Edit: Διόρθωσα τυπογραφικό. Ευχαριστώ τον Δημήτρη (JimNt.) για την επισήμανση.

Αφου

ακέραια λυση θα ισχύει:

(r-a)(r-b)(r-c)(r-d)=4

και ετσι θα ειναι οι όροι 1,-1,2,-2

αφου ολοι πρεπει να ειναι διαφορετικοι.

Αρα (r-a)+(r-b)+(r-c)+(r-d)=0

και το ζητούμενο επεται.

Τσιαλας Νικολαος · #2608

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Τσιαλας Νικολαος έγραψε:Άσκηση 1360

Έστω 9 σημεία ( ανά τρία μη συνευθειακά ) μέσα σε ένα τετράγωνο πλευράς 1. Αποδείχτε ότι μπορούμε να βρούμε πάντα 3 σημεία από αυτά, τέτοια ώστε το τρίγωνο που σχηματίζουν να έχει εμβαδό μικρότερο του 1/8 ( ένα όγδοο ).

Αφιερωμένη στον φίλτατο Ορέστη Λιγνό

Εύκολα το πρόβλημα ανάγεται στο εξής:

Να αποδειχθεί οτι σε ενα τετράγωνο με πλευρά το μέγιστο εμβαδον τριγώνου που μπορεί να σχήματιστει ειναι λιγότερο απο

Εύκολα όμως παίρνουμε οτι (διασθητικα) το μεγαλύτερο εμβαδον σχηματίζεται αν οι τρεις κορυφές βρίσκονται στις κορυφές του τετραγώνου, οποτε το μισό εμβαδον αρα

Edit: με πρόλαβε ο κύριος Μιχάλης

Χωρίς παρεξήγηση αναφερόμενος σε σένα φίλε Χάρη και προς τον Κύριο Λάμπρου, το ότι το εμβαδό θα είναι μικρότερο απο 1/8 προκύπτει από κάποιο θεώρημα που μου διαφεύγει; Άν όχι θα πρέπει να αποδειχθεί που ήταν το δεύτερο μισό της άσκησης που μου άρεσε

υ.γ:θα βάλω αμέσως μετά κάτι πιο δύσκολο

Τσιαλας Νικολαος · #2609

ΑΣΚΗΣΗ 1361 made in china

Στο ξεκίνημα 65 σκαθάρια είναι τοποθετημένα σε διαφορετικά τετράγωνα ενός 9χ9 τετραγωνικού πίνακα. Σε κάθε κίνηση το κάθε σκαθάρι μετακινείται οριζόντια η΄κάθετα σε παρακείμενο τετράγωνο. Εάν κανένα σκαθάρι δεν κάνει 2 οριζόντιες η΄κάθετες κινήσεις συνεχόμενα, δείχτε ότι μετά από κάποιες κινήσεις θα υπάρχουν τουλάχιστον 2 σκαθάρια στο ίδιο τετράγωνο!

#2610

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: το ότι το εμβαδό θα είναι μικρότερο απο 1/8 προκύπτει από κάποιο θεώρημα που μου διαφεύγει; Άν όχι θα πρέπει να αποδειχθεί που ήταν το δεύτερο μισό της άσκησης που μου άρεσε

Ορθή η παρατήρηση.

Βάζω απόδειξη.

Σχ.1-Σχ.2 Μεταφέρουμε το τρίγωνο σε μία γωνία (αν κάποια γωνία του είναι αμβλεία, την αγνοώ και μεταφέρω ως προς την κορυφή κάποιας από τις οξείες)

Σχ.2-Σχ.3 Φέρνουμε παράλληλη προς μία πλευρά του τριγώνου μέχρι να τμήση την πλευρά του τετραγώνου. Το κόκκινο τρίγωνο είναι ισεμβαδικό με το αρχικό.

Σχ.3-Σχ.4 Φέρνουμε παράλληλη προς την βάση του τετραγώνου μέχρι να τμήση μία από τις κάθετες πλευρές του τετραγώνου. Το νέο κόκκινο τρίγωνο είναι ισεμβαδικό πρώην κι άρα με το αρχικό.

Βλέπουμε τώρα ότι χώρεσε στο μισό του τετραγώνου.

Τσιαλας Νικολαος · #2611

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τσιαλας Νικολαος έγραψε: το ότι το εμβαδό θα είναι μικρότερο απο 1/8 προκύπτει από κάποιο θεώρημα που μου διαφεύγει; Άν όχι θα πρέπει να αποδειχθεί που ήταν το δεύτερο μισό της άσκησης που μου άρεσε
Ορθή η παρατήρηση.

Βάζω απόδειξη.

Σχ.1-Σχ.2 Μεταφέρουμε το τρίγωνο σε μία γωνία (αν κάποια γωνία του είναι αμβλεία, την αγνοώ και μεταφέρω ως προς την κορυφή κάποιας από τις οξείες)

Σχ.2-Σχ.3 Φέρνουμε παράλληλη προς μία πλευρά του τριγώνου μέχρι να τμήση την πλευρά του τετραγώνου. Το κόκκινο τρίγωνο είναι ισεμβαδικό με το αρχικό.

Σχ.3-Σχ.4 Φέρνουμε παράλληλη προς την βάση του τετραγώνου μέχρι να τμήση μία από τις κάθετες πλευρές του τετραγώνου. Το νέο κόκκινο τρίγωνο είναι ισεμβαδικό πρώην κι άρα με το αρχικό.

Βλέπουμε τώρα ότι χώρεσε στο μισό του τετραγώνου.

Κύριε Λάμπρου επιτρέψτε μου να χαρακτηρίσω την λύση σας ΜΑΓΙΚΗ. Είναι ένας λόγος για τον οποίο μπένω κάθε μέρα στο

!!! Από εκεί και πέρα όμως νομίζω ότι η λύση δεν είναι τόσο απλή και προφανής. Μάλιστα χρησιμοποιείται 2 φορές το τέχνασμα με τα ισοεμβαδικά τρίγωνα που να υπενθυμίσω πως σε πρόσφατο Αρχιμήδη ελάχιστα παιδιά έλυσαν!
Μήπως και κάποιος άλλος μαθητής η' μαθηματικός θέλει να παρουσιάσει μια πιό απλή λύση?

#2612

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Μήπως και κάποιος άλλος μαθητής η' μαθηματικός θέλει να παρουσιάσει μια πιό απλή λύση?

Υπόδειξη: Φέρτε παράλληλες προς τις (κάθετες λ.χ.) πλευρές του τετραγώνου οι οποίες να περνούν από τις κορυφές του τριγώνου.

Τσιαλας Νικολαος · #2613

Demetres έγραψε:
Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Μήπως και κάποιος άλλος μαθητής η' μαθηματικός θέλει να παρουσιάσει μια πιό απλή λύση?
Υπόδειξη: Φέρτε παράλληλες προς τις (κάθετες λ.χ.) πλευρές του τετραγώνου οι οποίες να περνούν από τις κορυφές του τριγώνου.

Έτσι την έλυσα και έγω. Απλά την άφησα μήπως θέλει κάποιος να προσπαθήσει. Νομίζω μάλιστα ότι μια παράλληλη αρκεί

#2614

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Μήπως και κάποιος άλλος μαθητής η' μαθηματικός θέλει να παρουσιάσει μια πιό απλή λύση?

Ας δούμε και άλλη λύση, λίγο πιο αλγεβρική.

Με κέντρο αξόνων την κάτω αριστερή γωνία του τετραγώνου (πλευράς

), φέρνουμε το τρίγωνο στην γωνία αυτή.

Το τρίγωνο έχει κορυφές με συντεταγμένες $(0,0), \, (x_1,y_1), \, (x_2,y_2)$ με $0\le x_i, y_i \le 1$ .

Εύκολα βλέπουμε (γνωστό άλλωστε και απλό) ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι $\displaystyle{E= \frac {1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|}$ . Χωρίς βλάβη

$\displaystyle{E= \frac {1}{2}(x_1y_2-x_2y_1) \le \frac {1}{2}x_1y_2 \le \frac {1}{2}\cdot 1 \cdot 1}$ , και λοιπά.

Προσθέτω ότι έχουμε ισότητα στο τελευταίο αν και μόνον αν $\displaystyle{x_1=y_2 =1}$ , δηλαδή οι κορυφές είναι στο σύνορο.

harrisp · #2615

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1361 made in china

Στο ξεκίνημα 65 σκαθάρια είναι τοποθετημένα σε διαφορετικά τετράγωνα ενός 9χ9 τετραγωνικού πίνακα. Σε κάθε κίνηση το κάθε σκαθάρι μετακινείται οριζόντια η΄κάθετα σε παρακείμενο τετράγωνο. Εάν κανένα σκαθάρι δεν κάνει 2 οριζόντιες η΄κάθετες κινήσεις συνεχόμενα, δείχτε ότι μετά από κάποιες κινήσεις θα υπάρχουν τουλάχιστον 2 σκαθάρια στο ίδιο τετράγωνο!

Μετά από δύο κινήσεις τα κίτρινα εχουν γίνει πορτοκαλί και τα πορτοκαλί κίτρινα. Αρα εχουμε το πολυ

σκαθάρια σε κίτρινα και πορτοκαλί τετράγωνα.

Μετα απο μια κίνηση τα πράσινα εχουν γίνει πορτοκαλί και κίτρινα δηλαδή το πολυ

σκαθάρια.

Συνολικά το πολυ

σκαθάρια χωρις καμια σύγκρουση, άτοπο.

ΥΓ. Το σκεπτικό για το χρωματισμό ήταν να περικυκλώσω καθε χρωμα με διαφορετικό ωστε μετα απο δυο κινήσεις να αλλάζει οπωσδήποτε το χρωμα.

Τσιαλας Νικολαος · #2616

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Τσιαλας Νικολαος έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1361 made in china

Στο ξεκίνημα 65 σκαθάρια είναι τοποθετημένα σε διαφορετικά τετράγωνα ενός 9χ9 τετραγωνικού πίνακα. Σε κάθε κίνηση το κάθε σκαθάρι μετακινείται οριζόντια η΄κάθετα σε παρακείμενο τετράγωνο. Εάν κανένα σκαθάρι δεν κάνει 2 οριζόντιες η΄κάθετες κινήσεις συνεχόμενα, δείχτε ότι μετά από κάποιες κινήσεις θα υπάρχουν τουλάχιστον 2 σκαθάρια στο ίδιο τετράγωνο!

Μετά από δύο κινήσεις τα κίτρινα εχουν γίνει πορτοκαλί και τα πορτοκαλί κίτρινα. Αρα εχουμε το πολυ σκαθάρια σε κίτρινα και πορτοκαλί τετράγωνα.

Μετα απο μια κίνηση τα πράσινα εχουν γίνει πορτοκαλί και κίτρινα δηλαδή το πολυ σκαθάρια.

Συνολικά το πολυ σκαθάρια χωρις καμια σύγκρουση, άτοπο.

ΥΓ. Το σκεπτικό για το χρωματισμό ήταν να περικυκλώσω καθε χρωμα με διαφορετικό ωστε μετα απο δυο κινήσεις να αλλάζει οπωσδήποτε το χρωμα.

Πολύ καλός!!!

#2617

ΑΣΚΗΣΗ 1362: Αν για τον πραγματικό αριθμό

ισχύει:

$\displaystyle{2x^5 +97x^3 +81x +55 = 23x^4 +171x^2}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x < 3}$

harrisp · #2618

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1362: Αν για τον πραγματικό αριθμό ισχύει:

$\displaystyle{2x^5 +97x^3 +81x +55 = 23x^4 +171x^2}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x < 3}$

Επαναφορά !

#2619

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 1362: Αν για τον πραγματικό αριθμό ισχύει:

$\displaystyle{2x^5 +97x^3 +81x +55 = 23x^4 +171x^2}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x < 3}$
Επαναφορά !

Η άσκηση αυτή έχει μείνει άλυτη για πολύ καιρό.

Δίνω την ιδέα της κατασκευής της: Αν μπορέσουμε την δοσμένη εξίσωση να την γράψουμε στην μορφή :

$\displaystyle{(x-3)^3 (ax^2 +bx +c) +m =0}$ , και αν είναι $\displaystyle{m > 0}$ και $\displaystyle{ax^2 +bx +c >0}$ για κάθε $\displaystyle{x\geq 3}$ , τότε αποκλείεται

να είναι $\displaystyle{x\geq 3}$ και το ζητούμενο έπεται.

Τώρα είναι εύκολο να λυθεί.

#2620

ΑΣΚΗΣΗ 1363: Να λυθεί στο N η εξίσωση:

$\displaystyle{x+\frac{y+z}{1+yz} =\frac{61}{2}}$

Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση