Τέλειο τετράγωνο

#1

Βρείτε όλους τους ακέραιους a,b

για τους οποίους ο αριθμός

$\displaystyle{(19a + b)^{18} + (a+ b)^{18}+ (a +19b)^{18}}$

είναι τέλειο τετράγωνο.

raf616 · #2

Καλησπέρα Θανάση! Μία προσπάθεια:

Έστω $\displaystyle{(19a + b)^{18} + (a+ b)^{18}+ (a +19b)^{18}} = k^2$ .

Έστω

το σύνολο των λύσεών της στους ακεραίους και έστω (a, b, k)

η λύση με το άθροισμα |a| + |b| + |k|

ελάχιστο.

Αν ο

δεν διαιρεί κανέναν από τους a,b

διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

19 | a+b

. Τότε, από μικρό θεώρημα Fermat είναι $\displaystyle{(19a + b)^{18} + (a+ b)^{18}+ (a +19b)^{18} \equiv 2 \pmod{19}}$ το οποίο είναι άτοπο αφού το σύνολο των τετραγωνικών

καταλοίπων $\pmod{19}$ είναι $\{0,1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17\}$ .

Αν $19 \nmid a +b$ τότε πάλι όμοια παίρνουμε άτοπο αφού $\displaystyle{(19a + b)^{18} + (a+ b)^{18}+ (a +19b)^{18} \equiv 3 \pmod{19}}$ .

Επομένως, ο

διαιρεί κάποιον από τους a, b

. Θα δείξω ότι αναγκαστικά διαιρεί τον άλλον.

Έστω $19\mid a$ . Τότε $\displaystyle{(19a + b)^{18} + (a+ b)^{18}+ (a +19b)^{18} \equiv 2b^{18} \pmod{19}}$ . Αν (b,19) = 1

, τότε από μικρό θεώρημα Fermat είναι

$\displaystyle{(19a + b)^{18} + (a+ b)^{18}+ (a +19b)^{18} \equiv 2 \pmod{19}}$ , άτοπο.

Άρα $19 \mid b$ . Γράφω επομένως a=19a_1, b= 19b_1

. Αντικαθιστώντας προκύπτει $19^{18}(\displaystyle{(19a_1 + b_1)^{18} + (a_1+ b_1)^{18}+ (a_1 +19b_1)^{18}}) = k^2$ . Από εδώ είναι

$19^9 \mid k \implies k = 19^9k_1$ . Άρα $\displaystyle{(19a_1 + b_1)^{18} + (a_1+ b_1)^{18}+ (a_1 +19b_1)^{18}} = k_1^2$

Άρα $(a_1, b_1, k_1) \in S$ με $|a_1| + |b_1| + |k_1| = \dfrac{1}{19}(|a| + |b| + |k|) \leq (|a| + |b| + |k|)$ , με ισότητα μόνο αν |a| = |b| = |k| = 0

.

Άρα, η μοναδική λύση είναι η (a, b, k) = (0,0,0)

.

#3

Τέλειο τετράγωνο

Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Re: Τέλειο τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση