Σύστημα

vasisot · #1

Να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases} 5+\sqrt{x}=y} \\ 5+\sqrt{y}=z}\\ 5+\sqrt{z}=x} \, .\end{cases} }$

#2

Πρόκειται για κλασική περίπτωση λύσης συστήματος με χρήση διάταξης, κάτι το οποίο, οι μικρότεροί μας φίλοι αν δεν έχουν ξαναδεί, ίσως τους ξαφνιάσει.

Αν π.χ. $\displaystyle{x>y,}$ από την πρώτη και την τρίτη εξίσωση προκύπτει $\displaystyle{z>x}$ και τότε από την δεύτερη και την τρίτη εξίσωση προκύπτει $\displaystyle{y>z.}$

Δηλαδή φτάνουμε στο παράλογο $\displaystyle{x>y>z>x.}$ με τον ίδιο τρόπο διαπιστώνουμε ότι σε κάθε περίπτωση καταλήγουμε σε αδύνατη σχέση.

Άρα τουλάχιστον δύο εκ των αφνώστων είναι ίσοι και επομένως τελικά όλοι είναι ίσοι μεταξύ τους.

Πλέον απομένει να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{x=\sqrt{x}+5,}$ η οποία έχει μοναδική λύση την $\displaystyle{\frac{11+\sqrt{21}}{2}.}$

Τελικά το σύστημα έχει μία μόνο λύση, την

$\displaystyle{\left(\frac{11+\sqrt{21}}{2},\frac{11+\sqrt{21}}{2},\frac{11+\sqrt{21}}{2}\right)}$ .

#3

vasisot έγραψε:Να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases} 5+\sqrt{x}=y} \\ 5+\sqrt{y}=z}\\ 5+\sqrt{z}=x} \, .\end{cases} }$

Η μέθοδος επίλυσης είναι κλασική. Δείτε π.χ. εδώ.

Το σύστημα γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle{\,\,(\Sigma' )\,\,\,: & \,\,\,\left\{ {\,\begin{array}{*{20}{c}} {f(x)=y}\\ {f(y)=z}\\ {f(z)=x} \end{array}} \right.}$

όπου $f: [0,+\infty) \to [0,+\infty)$ με $f(x)=5+\sqrt{x}$

Αν (a,b,c)

είναι μια λύση του συστήματος, τότε f(f(f(a))=a

,

και

.

Αφού η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα, οι a,b,c

πρέπει να είναι λύσεις της εξίσωσης f(x)=x

.

Αλλά

αν και μόνο αν $x=\dfrac{11+\sqrt{21}}{2}$ .

Συνεπώς, η μοναδική λύση είναι η $(x,y,z)=(\dfrac{11+\sqrt{21}}{2},\dfrac{11+\sqrt{21}}{2},\dfrac{11+\sqrt{21}}{2})$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

vasisot · #4

Σας ευχαριστώ και τους δύο

!

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση