Μέγιστη τιμή

#1

Αν $x,y,z \in (0,1)$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle \sqrt{\frac{1-x}{yz}}+\sqrt{\frac{1-y}{zx}}+\sqrt{\frac{1-z}{xy}}=2$ , να βρεθεί η μέγιστη τιμή του xyz.

#2

socrates έγραψε:Αν $x,y,z \in (0,1)$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle \sqrt{\frac{1-x}{yz}}+\sqrt{\frac{1-y}{zx}}+\sqrt{\frac{1-z}{xy}}=2$ , να βρεθεί η μέγιστη τιμή του

Η προηγούμενη ''λύση'' ήταν λανθασμένη. Ευχαριστώ τον Θανάση για την επισήμανση.

Παραθέτω μία αρκετά ''βαρύτερη''.
Το σκεπτικό είναι το εξής:
Η δοθείσα ισχύει όταν (όχι μόνο όταν) $\displaystyle{x=y=z=\frac{3}{4}.}$

Θα δουλέψουμε, λοιπόν, με ανισότητες, οι οποίες σέβονται αυτή τη συνθήκη.

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{x=\frac{3}{4}\Leftrightarrow 4x=3\Leftrightarrow x=3-3x\Leftrightarrow x=3(1-x)}$ .

Η δοθείσα γράφεται υπό τη μορφή

$\displaystyle{2\sqrt{3xyz}=\sqrt{x\cdot 3(1-x)}+\sqrt{y\cdot 3(1-y)}+\sqrt{z\cdot 3(1-z)}}$ ,

οπότε από την ΑΜ_ΓΜ έχουμε

$\displaystyle{2\sqrt{3xyz}\leq \frac{x+3(1-x)}{2}+\frac{y+3(1-y)}{2}+\frac{z+3(1-z)}{2}=\frac{9}{2}-(x+y+z)\leq \frac{9}{2}-3\sqrt[3]{xyz}.}$

Ισχύει δηλαδή

$\displaystyle{2\sqrt{3xyz}\leq \frac{9}{2}-3\sqrt[3]{xyz}.}$

Αν θέσουμε $\displaystyle{\sqrt[6]{xyz}=t,}$ η προηγούμενη σχέση γράφεται ως

$\displaystyle{4\sqrt{3}t^3+6t^2-9\leq 0,}$

ή αλλιώς

$\displaystyle{(2t-\sqrt{3})(2t^2+2\sqrt{3}t+3)\leq 0}$

και από εδώ βρίσκουμε $\displaystyle{t\leq \frac{\sqrt{3}}{2},}$ οπότε $\displaystyle{xyz\leq \frac{27}{64}}$ και η ισότητα πιάνεται για $\displaystyle{x=y=z=\frac{3}{4}.}$

#3

socrates έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 19, 2011 4:50 pm
Αν $x,y,z \in (0,1)$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle \sqrt{\frac{1-x}{yz}}+\sqrt{\frac{1-y}{zx}}+\sqrt{\frac{1-z}{xy}}=2$ , να βρεθεί η μέγιστη τιμή του

Τι γίνεται με την ελάχιστη τιμή του xyz;

Αν δεν υπάρχει, ποιο είναι το μέγιστο κάτω φράγμα;

S.E.Louridas · #4

Ήταν μία λάθος εκκίνηση και την έσβησα.

Μέγιστη τιμή

Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση