Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

S.E.Louridas · #21

Ευχαριστώ τον ΔΗΜΗΤΡΗ γιά την επισήμανση Στο ζητούμενο της ΑΣΚΗΣΗΣ 14,
Αντί γιά πολλ.7 ας τεθεί πολλ.27

Ευχαριστώ

S.E.Louridas

Eagle · #22

S.E.Louridas έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 14. (Ομοίως από την ίδια πηγή)
Έστω
$a,b,c,d \in \mathbb{N},\;\omega \sigma \tau \varepsilon \;4a^2 + 13b^2 + 13c^2 + 9d^2 = 12\left( {ab + bc + cd} \right).$
Να αποδειχθεί ότι :
$a = \pi o\lambda \lambda .\,27.$

S.E.Louridas

Όπως και με την άσκηση 12 σχηματίζουμε τέλεια τετράγωνα.Δηλαδή $\displaystyle {4a^2 + 13b^2 + 13c^2 + 9d^2 = 12\left( {ab + bc + cd} \right) \Leftrightarrow (2a-3b)^2+(2b-3c)^2+(2c-3d)^2=0 \Rightarrow 2a=3b}$ , 2b=3c

,

.Πολλαπλάσιάζοντας κατά μέλη τις 3 σχέσεις παίρνουμε 8abc=27bcd

και εφόσον $a,b,c,d \in \mathbb{N}$ έχουμε 8a=27d

.Όμως

,έτσι

και

που είναι και το ζητούμενο.

#23

Έχουν λοιπόν λυθεί όλα σχεδόν τα προτεινόμενα θέματα από τα ταλέντα μας του Γυμνασίου (και του Δημοτικού)!!
Μένει άλυτη η ΑΣΚΗΣΗ 13 και η ΑΣΚΗΣΗ 11 που είναι λίγο πιο ανεβασμένου επιπέδου (αν δεν λυθουν μέχρι τις 25/5/2011, θα δώσουμε εμείς αναλυτική λύση ώστε γίνουν κατανοητές και να μπορείτε στο μέλλον να αντιμετωπίζετε κάτι παρόμοιο). Συνεχίζω με δύο ακόμα ασκήσεις από τις οποίες η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Β Γυμνασίου

ΑΣΚΗΣΗ 15 :
Αν $x,y,a,b>0,x\neq 2y,y\neq 2x,a\neq 3b,a\neq -3b$

και αν ισχύει ότι : $\displaystyle{\frac{2x-y}{a+3b}=\frac{2y-x}{a-3b}=k}$

να αποδείξετε ότι: x+y=2ka, x-y=2kb

ΑΣΚΗΣΗ 16 :
Ο αριθμός Α προκύπτει από το γινόμενο δύο διαδοχικών θετικών ακεραίων και είναι μικρότερος του 20
ενώ ο αριθμός Β προκύπτει από το γινόμενο τριών θετικών διαδοχικών ακεραίων και είναι μικρότερος του 30.
Αν το πηλίκο $\displaystyle{\frac{A}{B}}$ έχει την ιδιότητα να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

$K=1000\left(\frac{A}{B} \right)^{1000}+2004A^{2}-2004B^{2}$

Γιώτα · #24

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 11:
Οι ακέραιοι και είναι ανάλογοι προς τον αριθμητή και τον παρονομαστή αντίστοιχα του κλάσματος που προκύπτει από την μετατροπή σε κλασματική μορφή του δεκαδικού περιοδικού αριθμού α=4,333...
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{B=\frac{6x-5y}{6x+5y}-\frac{21}{31}}$

$\frac{13}{3}=4,333...$ άρα $\frac{13}{3}=\frac{x}{y}\Rightarrow 3x=13y$ (1)

$\frac{6x-5y}{6x+5y}-\frac{21}{31}=\frac{2\cdot3x-5y}{2\cdot3x+5y}-\frac{21}{31}$

από την (1) συνεπάγεται οτι:

$\frac{2\cdot13y-5y}{2\cdot13y+5y}-\frac{21}{31}=\frac{26y-5y}{26y+5y}-\frac{21}{31}=\frac{21y}{31y}-\frac{21}{31}=\frac{21}{31}-\frac{21}{31}= 0$

T-Rex · #25

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 11: Οι ακέραιοι x και y είναι ανάλογοι προς τον αριθμητή και τον παρονομαστή αντίστοιχα του κλάσματος που προκύπτει από την μετατροπή σε κλασματική μορφή του δεκαδικού περιοδικού αριθμού α=4,333...
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

$B=\frac{6x-5y}{6x+5y}-\frac{21}{31}$

ο αριθμος 4,33333 είναι το κλάσμα $\frac{13}{3}$ γιατι $4,333333=4+0,3333333=4+\frac{1}{3}=\frac{12}{3}+\frac{1}{3}=\frac{13}{3}$ αρα αν βάλουμε χ=13 και ψ=3

$B=\frac{6x-5y}{6x+5y}-\frac{21}{31}=\frac{6.13-5.3}{6.13+5.3}-\frac{21}{31}=\frac{78-15}{78+15}-\frac{21}{31}=\frac{63}{93}-\frac{21}{31}=\frac{3.21}{3.31}-\frac{21}{31}=1.\frac{21}{31}-\frac{21}{31}=0$

ΑΡΣΕΝΟΗ · #26

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 15: Αν

$x,y,a,b>0,x\neq 2y,y\neq 2x,a\neq 3b,a\neq -3b$

και αν ισχύει ότι : $\frac{2x-y}{a+3b}=\frac{2y-x}{a-3b}=k$

να αποδείξετε ότι:

Καλησπέρα...

Έχουμε: $\displaystyle\ \frac{2x-y}{a+3b}=\frac{2y-x}{a-3b}=k$ Άρα: $\displaystyle\ \frac{2x-y}{a+3b}=\frac{k}{1}$ (1)
και $\displaystyle\ \frac{2y-x}{a-3b}=\frac{k}{1}$ (2)
Με χιαστή από το (1) παίρνουμε: $\displaystyle\ 2x-y=ka+3bk$
Με χιαστή απο το (2) παίρνουμε: $\displaystyle\ 2y-x=ka-3bk$
Με πρόσθεση κατα μέλη του (1) και (2) έχουμε:
$\displaystyle\ x+y=2ka$ (το ζητούμενο)
Με αφαίρεση κατα μέλη παίρνουμε:
$\displaystyle\ 3x-3y=6bk$ διαιρούμε και τα δύο μέλη της ισότητας με το 3 και παίρνουμε: $\displaystyle\ x-y=2bk$ ( το ζητούμενο)

qwerty · #27

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 15: Αν

$x,y,a,b>0,x\neq 2y,y\neq 2x,a\neq 3b,a\neq -3b$

και αν ισχύει ότι : $\frac{2x-y}{a+3b}=\frac{2y-x}{a-3b}=k$

να αποδείξετε ότι:

Eνας άλλος τρόπος είναι ο εξής:
Θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα $\frac{x}{y}=\frac{z}{w} \Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{z}{w}=\frac{x+z}{y+w}$ (όπου όλοι οι παρονομαστές δεν είναι μηδέν)
οπότε έχουμε: $\frac{2x-y}{a+3b}=\frac{2y-x}{a-3b}=\frac{x+y}{2a}$ ,άρα $\frac{x+y}{2a}=k$
στην τελευταία σχεση κανουμε μια χιαστι και τελειώσαμε.
Τώρα για να δείξουμε την δεύτερη ισότητα κάνουμε τα ίδια μόνο που το κλάσμα $\frac{2y-x}{a-3b}$ το γράφουμε ως $\frac{x-2y}{3b-a}$ (για να εμφανίσουμε το χ-y)

#28

Συγχαρητήρια qwerty για την ποιότητα της λύσης στην άσκηση 15.

#29

Εχουν μείνει άλυτες οι ΑΣΚΗΣΗ 13 και ΑΣΚΗΣΗ 16.
Πριν προχωρήσουμε σε επόμενες ασκήσεις, ας δούμε μερικές χρήσιμες παρατηρήσεις:

(α) Είναι γνωστό, ότι για να βρούμε το άθροισμα 1+2+3+...+100, παρατηρούμε ότι :
1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, ...
συνεπώς, παίρνοντας ανά ζεύγη τους πιο πάνω αριθμούς, (όπου τα ζεύγη είναι 50 στο πλήθος) βρίσκουμε το ζητούμενο άθροισμα ίσο με 50.101, δηλαδή 5050.

Γενικά, ας γνωρίζουμε ότι

$1+2+3+...+n = \frac{n.(n+1)}{2}$

(β) Στη συνέχεια, θα δούμε με ποιον τρόπο μπορούμε να βρούμε ένα πλήθος αριθμών, όταν κάθε ένας από αυτούς (από τον δεύτερο και μετά) είναι ίσος με τον προηγούμενό του συν ένα σταθερό αριθμό.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να βρεθεί το πλήθος των αριθμών: 4,9,14,...,1499Παρατηρούμε ότι

1ος αριθμός: 4 =4+0.5

2ος αριθμός: 9 =4+1.5

3ος αριθμός: 14 =4+2.5
.....
.....
.....
νιοστός αριθμός: 1499 =4+(ν-1).5

Οπότε για να βρούμε το πλήθος ν των αριθμών, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση 1499=4+(ν-1).5 από όπου βρίσκουμε ν=300.

(ΣΗΜ: Σε μεγαλύτερη τάξη στο Λύκειο, θα γίνει εκτενέστερη μελέτη τέτοιων αριθμών, αλλά για τις ανάγκες των διαγωνισμών του Γυμνασίου, αρκουν αυτά που αναφέραμε)

Ας δούμε και ένα ακόμα παράδειγμα, που θα χρησιμοποιήσουμε την πιο πάνω γνώση:

Να βρεθεί το άθροισμα: 3+7+11+...+399Έχουμε:

3=3+0.4
7=3+1.4
11=3+2.4
.....
.....
399=3+(ν-1).4

Από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε ν=100

Με πρόσθεση τώρα κατά μέλη των παραπάνω ισοτήτων βρίσκουμε:

3+7+11+...+399=100.3 +1.4+2.4+...+99.4=300+4.(1+2+3+...+99)= $300+4.\frac{99(99+1)}{2}=300+4.4950=20100$

Οι επόμενες δύο ασκήσεις έχουν τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Β Γυμνασίου

ΑΣΚΗΣΗ 17 :

Να προσδιορίσετε το άθροισμα: A=200-198+196-194+192-190+...+4-2

ΑΣΚΗΣΗ 18 :

Δίνονται οι παραστάσεις: $A=2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+\frac{5}{4}+...+\frac{2001}{2000}$ , $B=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2000}$

Να βρείτε τον αριθμό A-B

Marios V. · #30

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 16 :
Ο αριθμός Α προκύπτει από το γινόμενο δύο διαδοχικών θετικών ακεραίων και είναι μικρότερος του 20
ενώ ο αριθμός Β προκύπτει από το γινόμενο τριών θετικών διαδοχικών ακεραίων και είναι μικρότερος του 30.
Αν το πηλίκο $\displaystyle{\frac{A}{B}}$ έχει την ιδιότητα να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, να βρεθεί η τιμή της παράστασης: $K=1000\left(\frac{A}{B} \right)^{1000}+2004A^{2}-2004B^{2}$

πρέπει

,

Το B είναι προφανώς πολλαπλάσιο του

.
Αφού $A/B\in Z$ , πρέπει B|A

Αφού

, πρέπει

Αρα ή

ή

.
Επειδή $4 \times 5=20$ ,
$a,(a+1)\in {1,2,3,4}$
άρα απαραίτητα a=3

,

ή

,

οπότε

ή

Οι διαιρέτες του

είναι

.
Οπότε $B=1\times2\times3=6 or B=2\times3\times4=24$
Σε καμία από τις δυο περιπτώσεις A/B

δεν είναι τέλειο τετράγωνο.
Οπότε A=6

.
Οι διαιρέτες του

είναι

.
Οπότε πρέπει $B=1\times2\times3=6$
και άρα A/B=1

Και άρα

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 17 :

Να προσδιορίσετε το άθροισμα:

1ος Τρόπος
$A=200-198+196-194+...+4-2 = (200+196+...+4)-(198+194+...+2) = (50/2)(200+4) - (50/2)(198+2) =25 \times204-25\times200=25\times4=100$ (αριθμητικές σειρές)
ή
2ος Τρόπος
$A=200-198+196-194+...+4-2=2+2+2+2+2+....+2 = 2\times(200/4)=100$

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 18 :

Δίνονται οι παραστάσεις: $\displaystyle{A=2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+\frac{5}{4}+...+\frac{2001}{2000}, ~~ B=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2000}}$
Να βρείτε τον αριθμό

$A-B=\frac{2-1}{1}+\frac{3-1}{2}+\frac{4-1}{3}+...+\frac{2001-1}{2000} = 1+1+1+1....+1=2000$

#31

Συγχαρητήρια στον Φερμά-96 για τις επί πλέον γνώσεις που έχει στην θεωρία των αριθμών. Με την ευκαιρία, να τονίσουμε ότι:

Το γινόμενο δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών, διαιρείται πάντα με το 2

Η απόδειξη της πρότασης αυτής είναι εύκολη και αφήνεται ως άσκηση (δείτε εξ άλλου και το επόμενο)

Το γινόμενο τριών διαδοχικών φυσικών αριθμών, διαιρείται πάντα με το 3

Απόδειξη: Έστω α=ν(ν+1)(ν+2).

Από την ευκλείδια διαίρεση του ν με τον 3, έχουμε ν=3κ+υ, όπου υ=0,1,2

Άρα ν=3κ, ή ν=3κ+1, ή ν=3κ+2

1η Περίπτωση: ν=3κ

Τότε α=3κ(3κ+1)(3κ+2) και άρα ο α διαιρείται με το 3

2η Περίπτωση: ν=3κ+1

Τότε α=(3κ+1)(3κ+2)(3κ+3)=3(3κ+1)(3κ+2)(κ+1) και άρα ο α διαιρείται με το 3

3η Περίπτωση: ν=3κ+2

Τότε α=(3κ+2)(3κ+3)(3κ+4)=3(3κ+2)(κ+1)(3κ+4) και άρα και πάλι ο α είναι πολλαπλάσιο του 3

Γενικά, το γινόμενο ν διαδοχικών φυσικών αριθμών, διαιρείται με το ν

Προχωρούμε τώρα με δύο ακόμα ασκήσεις που έχουν τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Β Γυμνασίου:

ΑΣΚΗΣΗ 19 :
Αν $a=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1999}$

και $b=1+\frac{2}{4}+\frac{4}{6}+\frac{6}{8}+...+\frac{3996}{3998}$

να βρείτε τον αριθμό $\frac{a+b}{2}$

ΑΣΚΗΣΗ 20 :
Αν για κάθε θετικό ακέραιο

ισχύει η ισότητα: $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

να υπολογίσετε το άθροισμα: $\displaystyle{S=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2000.2001}}$

ΑΡΣΕΝΟΗ · #32

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 20 :
Αν για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει η ισότητα: $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

να υπολογίσετε το άθροισμα: $\displaystyle{S=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2000.2001}}$

Απο την ισότητα $\displaystyle\ \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ μπορούμε να γράψουμε:
$\displaystyle\ \frac{1}{1{\cdot}2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$

$\displaystyle\ \frac{1}{2{\cdot}3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

$\displaystyle\ \frac{1}{3{\cdot}4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$
.
.
.
.
$\displaystyle\ \frac{1}{2000{\cdot}2001}=\frac{1}{2000}-\frac{1}{2001}$

Απο τα παραπάνω έχουμε:
$\displaystyle\ S=\frac{1}{1{\cdot}2}+\frac{1}{2{\cdot}3}+\frac{1}{3{\cdot}4}+\frac{1}{4{\cdot}5}+...+\frac{1}{2000{\cdot}2001}=$

$\displaystyle\ \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2} \right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5} \right)+...+\left(\frac{1}{2000}-\frac{1}{2001} \right)=$

$\displaystyle\ \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2000}-\frac{1}{2001}=$

Παρατηρούμε πώς γίνονται διαδοχικές απλοποιήσεις και αυτό που μένει είναι:

$\displaystyle\ \frac{1}{1}-\frac{1}{2001}=\frac{2001}{2001}-\frac{1}{2001}=\frac{2000}{2001}$

Marios V. · #33

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 19 :
Αν $a=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1999}$

και $b=1+\frac{2}{4}+\frac{4}{6}+\frac{6}{8}+...+\frac{3996}{3998}$

να βρείτε τον αριθμό $\frac{a+b}{2}$

$a= 1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1999}$
$b=1+\frac{2}{4}+\frac{4}{6}+\frac{6}{8}+...+\frac{3996}{3998}=1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+...+\frac{1998}{1999}$

$a+b=(1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1999})+(1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+...+\frac{1998}{1999})$ $= 1+(1+\frac{1+1}{2}+\frac{1+2}{3}+...+\frac{1+1998}{1999})=1+(1+1+1+1+...+1)=1+1999=2000$

$\Rightarrow$ $\frac{a+b}{2}=1000$

#34

Τέλεια παιδιά!!! Μας μένει άλυτη μόνο η ΑΣΚΗΣΗ 13. (Την βλέπω την πρόκριση για τον επόμενο διαγωνισμό της ΕΜΕ και του ΚΑΓΚΟΥΡΩ). Από τις επόμενες δύο ασκήσεις, η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Γ Γυμνασίου:

ΑΣΚΗΣΗ 21 :
(α) Να αποδείξετε ότι: $\frac{2}{n(n+1)(n+2)}=\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)-\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)$

(β) Να υπολογίσετε το άθροισμα: $S=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{1999.2000.2001}$

ΑΣΚΗΣΗ 22 :
Να εξετάσετε αν ο παρακάτω αριθμός είναι θετικός ή αρνητικός:

Α=(-13)(-17)(-21)(-25). ... .(-4013)

ΑΡΣΕΝΟΗ · #35

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 22 :
Να εξετάσετε αν ο παρακάτω αριθμός είναι θετικός ή αρνητικός:

Α=(-13)(-17)(-21)(-25). ... .(-4013)

Όι αριθμοί απο το 13 έως το 4013 γράφονται ώς εξείς:
13=13+0.4
17=13+1.4
21=13+2.4
25=13+3.4
.
.
.
4013=13+x.4
Λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε οτι το χ είναι 1000.Άρα ο 4013 είναι ο χιλιοστός πρώτος αριθμός(και το 13 στην αρχή το προσθέτουμε).Το 1001 είναι περιττός άρα το αποτέλεσμα της παράστασης θα είνα αρνητικός αριθμός.

Υ.Γ:δεν είμαι σίγουρη για το αν είναι σωστά τα παραπάνω

#36

ΑΡΣΕΝΟΗ έγραψε:Για την 22:
Όι αριθμοί απο το 13 έως το 4013 γράφονται ώς εξείς:
13=13+0.4
17=13+1.4
21=13+2.4
25=13+3.4
.
.
.
4013=13+x.4
Λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε οτι το χ είναι 1000.Άρα ο 4013 είναι ο χιλιοστός πρώτος αριθμός(και το 13 στην αρχή το προσθέτουμε).Το 1001 είναι περιττός άρα το αποτέλεσμα της παράστασης θα είνα αρνητικός αριθμός.

Υ.Γ:δεν είμαι σίγουρη για το αν είναι σωστά τα παραπάνω

Σωστά απάντησες ΑΡΣΕΝΟΗ. Μπράβο!!

Marios V. · #37

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 21 :
(α) Να αποδείξετε ότι: $\frac{2}{n(n+1)(n+2)}=\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)-\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)$

(β) Να υπολογίσετε το άθροισμα: $S=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{1999.2000.2001}$

α)
$\displaystyle{\frac{2}{n(n+1)(n+2)}\equiv \frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}+\frac{C}{n+2}}$ (μερικά κλάσματα)
με απαλοιφή παρονομαστών:
${2}\equiv A(n+2)(n+1)+B(n+2)n+C(n+1)n$
Μηδενίζοντας τα n, n+1, και n+2 αντίστοιχα έχουμε
$n=0 \rightarrow 2=2A+0B+0C=2A \Rightarrow A=1$
$n=-1 \rightarrow 2=0A+(-1)B+0C=-B \Rightarrow B=-2$
$n=-2 \rightarrow 2=0A+0B+2C=2C \Rightarrow C=1$

οπότε

$\displaystyle{\frac{2}{n(n+1)(n+2)}\equiv \frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}= \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)-\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)}$
QED

μάλλον θα υπάρχει και άλλη λύση, πολύ πιο απλή. Η συγκεκριμένη όμως μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε κάθε πρόβλημα αυτού του τύπου, και γι' αυτό θα είναι πιο χρήσιμη στον πιθανό αναγνώστη.

β)
$\displaystyle{S=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{1999.2000.2001}=\frac{(\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+...+\frac{2}{1999.2000.2001})}{2}=}$
$\displaystyle{=\frac{(1-\frac{1}{2})-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...+(\frac{1}{1999}-\frac{1}{2000})-(\frac{1}{2000}-\frac{1}{2001})}{2}}$

μετά από τις διαδοχικές απλοποιήσεις:

$\displaystyle{S=\frac{(1-\frac{1}{2})-(\frac{1}{2000}-\frac{1}{2001})}{2}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{2001-2000}{2000\times 2001}}{2}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2000\times 2001}}{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4000\times 2001}=\frac{1000\times2001-1}{4000\times2001}=\frac{2000999}{4000\times2001}}$

υπερβολικά πολύπλοκο για να είναι σωστό... τι έκανα λάθος?

Marios V. · #38

ποιο απ' όλα τα δεύτερα μέλη εννοείς?

(είμαι και ελαφρώς πάραπολυ κουρασμένος οπότε δεν τα πέρνω γρήγορα...)

#39

Φερμά_96 έγραψε:ποιο απ' όλα τα δεύτερα μέλη εννοείς?
(είμαι και ελαφρώς πάραπολυ κουρασμένος οπότε δεν τα πέρνω γρήγορα...)

Μάλλον για το δεύτερο ερώτημα, λες.

Σωστά έχεις εργαστεί. Ίσως είναι πιο εύκολο αν απευθείας χρησιμοποιούσες το (α) ερώτημα, του οποίου η απόδειξη πράγματι είναι πιο εύκολη αν κάνεις τις πράξεις στο δεύτερο μέλος. Ωστόσο μπράβο που γνωρίζεις πράγματα που διδάσκονται σε μεγαλύτερες τάξεις.

Marios V. · #40

α! μιλούσες για το πρώτο ερώτημα... εμένα το μυαλό μου πήγε απευθείας στο δεύτερο.

$\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)-\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)= \left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)=\frac{2}{n(n+1)(n+2)}$ (το τελευταίο προκύπτει κάνοντας τα κλάσματα ομώνυμα).

για κάποιο χαζό λόγο θεώρησα πως το ζητούμενο είναι να καταλήξουμε από το πρώτο μέλος στο δεύτερο... τώρα το γιατί... έλα ντε. όταν είναι ξεροκέφαλος ο άλλος...

Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Μέλη σε σύνδεση