Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5293
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Πέμ Μάιος 19, 2011 7:03 pm

Ευχαριστώ τον ΔΗΜΗΤΡΗ γιά την επισήμανση Στο ζητούμενο της ΑΣΚΗΣΗΣ 14,
Αντί γιά πολλ.7 ας τεθεί πολλ.27

Ευχαριστώ

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Eagle
Δημοσιεύσεις: 92
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 29, 2009 6:08 pm
Τοποθεσία: Ναύπλιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Eagle » Πέμ Μάιος 19, 2011 7:26 pm

S.E.Louridas έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 14. (Ομοίως από την ίδια πηγή)
Έστω
a,b,c,d \in \mathbb{N},\;\omega \sigma \tau \varepsilon \;4a^2  + 13b^2  + 13c^2  + 9d^2  = 12\left( {ab + bc + cd} \right).
Να αποδειχθεί ότι :
a = \pi o\lambda \lambda .\,27.

S.E.Louridas
Όπως και με την άσκηση 12 σχηματίζουμε τέλεια τετράγωνα.Δηλαδή \displaystyle {4a^2  + 13b^2  + 13c^2  + 9d^2  = 12\left( {ab + bc + cd} \right) \Leftrightarrow (2a-3b)^2+(2b-3c)^2+(2c-3d)^2=0 \Rightarrow 2a=3b},2b=3c,2c=3d.Πολλαπλάσιάζοντας κατά μέλη τις 3 σχέσεις παίρνουμε 8abc=27bcd και εφόσον a,b,c,d \in \mathbb{N} έχουμε 8a=27d.Όμως (27,8)=1,έτσι 8|d και 27|a που είναι και το ζητούμενο.


Δημήτρης.
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Παρ Μάιος 20, 2011 2:58 pm

Έχουν λοιπόν λυθεί όλα σχεδόν τα προτεινόμενα θέματα από τα ταλέντα μας του Γυμνασίου (και του Δημοτικού)!!
Μένει άλυτη η ΑΣΚΗΣΗ 13 και η ΑΣΚΗΣΗ 11 που είναι λίγο πιο ανεβασμένου επιπέδου (αν δεν λυθουν μέχρι τις 25/5/2011, θα δώσουμε εμείς αναλυτική λύση ώστε γίνουν κατανοητές και να μπορείτε στο μέλλον να αντιμετωπίζετε κάτι παρόμοιο). Συνεχίζω με δύο ακόμα ασκήσεις από τις οποίες η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Β Γυμνασίου

ΑΣΚΗΣΗ 15 :
Αν x,y,a,b>0,x\neq 2y,y\neq 2x,a\neq 3b,a\neq -3b

και αν ισχύει ότι :\displaystyle{\frac{2x-y}{a+3b}=\frac{2y-x}{a-3b}=k}

να αποδείξετε ότι: x+y=2ka, x-y=2kb


ΑΣΚΗΣΗ 16 :
Ο αριθμός Α προκύπτει από το γινόμενο δύο διαδοχικών θετικών ακεραίων και είναι μικρότερος του 20
ενώ ο αριθμός Β προκύπτει από το γινόμενο τριών θετικών διαδοχικών ακεραίων και είναι μικρότερος του 30.
Αν το πηλίκο \displaystyle{\frac{A}{B}} έχει την ιδιότητα να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

K=1000\left(\frac{A}{B} \right)^{1000}+2004A^{2}-2004B^{2}


Γιώτα
Δημοσιεύσεις: 72
Εγγραφή: Πέμ Απρ 07, 2011 3:52 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώτα » Παρ Μάιος 20, 2011 8:09 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 11:
Οι ακέραιοι x και y είναι ανάλογοι προς τον αριθμητή και τον παρονομαστή αντίστοιχα του κλάσματος που προκύπτει από την μετατροπή σε κλασματική μορφή του δεκαδικού περιοδικού αριθμού α=4,333...
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:\displaystyle{B=\frac{6x-5y}{6x+5y}-\frac{21}{31}}
\frac{13}{3}=4,333... άρα \frac{13}{3}=\frac{x}{y}\Rightarrow 3x=13y(1)


\frac{6x-5y}{6x+5y}-\frac{21}{31}=\frac{2\cdot3x-5y}{2\cdot3x+5y}-\frac{21}{31}

από την (1) συνεπάγεται οτι:

\frac{2\cdot13y-5y}{2\cdot13y+5y}-\frac{21}{31}=\frac{26y-5y}{26y+5y}-\frac{21}{31}=\frac{21y}{31y}-\frac{21}{31}=\frac{21}{31}-\frac{21}{31}= 0


Άβαταρ μέλους
T-Rex
Δημοσιεύσεις: 409
Εγγραφή: Παρ Οκτ 30, 2009 8:47 pm
Τοποθεσία: Ασπροβαλτα-Τσαριτσάνη

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από T-Rex » Παρ Μάιος 20, 2011 9:22 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 11: Οι ακέραιοι x και y είναι ανάλογοι προς τον αριθμητή και τον παρονομαστή αντίστοιχα του κλάσματος που προκύπτει από την μετατροπή σε κλασματική μορφή του δεκαδικού περιοδικού αριθμού α=4,333...
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

B=\frac{6x-5y}{6x+5y}-\frac{21}{31}

ο αριθμος 4,33333 είναι το κλάσμα \frac{13}{3} γιατι 4,333333=4+0,3333333=4+\frac{1}{3}=\frac{12}{3}+\frac{1}{3}=\frac{13}{3} αρα αν βάλουμε χ=13 και ψ=3

B=\frac{6x-5y}{6x+5y}-\frac{21}{31}=\frac{6.13-5.3}{6.13+5.3}-\frac{21}{31}=\frac{78-15}{78+15}-\frac{21}{31}=\frac{63}{93}-\frac{21}{31}=\frac{3.21}{3.31}-\frac{21}{31}=1.\frac{21}{31}-\frac{21}{31}=0


Άβαταρ μέλους
ΑΡΣΕΝΟΗ
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 5:23 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Εύβοιας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΑΡΣΕΝΟΗ » Παρ Μάιος 20, 2011 10:04 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 15: Αν

x,y,a,b>0,x\neq 2y,y\neq 2x,a\neq 3b,a\neq -3b

και αν ισχύει ότι :\frac{2x-y}{a+3b}=\frac{2y-x}{a-3b}=k

να αποδείξετε ότι: x+y=2ka, x-y=2kb
Καλησπέρα...

Έχουμε:\displaystyle\ \frac{2x-y}{a+3b}=\frac{2y-x}{a-3b}=k Άρα:\displaystyle\ \frac{2x-y}{a+3b}=\frac{k}{1} (1)
και \displaystyle\ \frac{2y-x}{a-3b}=\frac{k}{1} (2)
Με χιαστή από το (1) παίρνουμε: \displaystyle\ 2x-y=ka+3bk
Με χιαστή απο το (2) παίρνουμε: \displaystyle\ 2y-x=ka-3bk
Με πρόσθεση κατα μέλη του (1) και (2) έχουμε:
\displaystyle\ x+y=2ka (το ζητούμενο)
Με αφαίρεση κατα μέλη παίρνουμε:
\displaystyle\ 3x-3y=6bk διαιρούμε και τα δύο μέλη της ισότητας με το 3 και παίρνουμε:\displaystyle\ x-y=2bk ( το ζητούμενο)


Μερικές φορές είναι τα μικρότερα πράγματα αυτά,
που γεμιζουν το μεγαλύτερο κομμάτι της καρδιάς μας...
qwerty
Δημοσιεύσεις: 169
Εγγραφή: Δευ Αύγ 17, 2009 11:05 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από qwerty » Σάβ Μάιος 21, 2011 12:55 am

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 15: Αν

x,y,a,b>0,x\neq 2y,y\neq 2x,a\neq 3b,a\neq -3b

και αν ισχύει ότι :\frac{2x-y}{a+3b}=\frac{2y-x}{a-3b}=k

να αποδείξετε ότι:x+y=2ka, x-y=2kb
Eνας άλλος τρόπος είναι ο εξής:
Θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα \frac{x}{y}=\frac{z}{w} \Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{z}{w}=\frac{x+z}{y+w} (όπου όλοι οι παρονομαστές δεν είναι μηδέν)
οπότε έχουμε: \frac{2x-y}{a+3b}=\frac{2y-x}{a-3b}=\frac{x+y}{2a} ,άρα \frac{x+y}{2a}=k
στην τελευταία σχεση κανουμε μια χιαστι και τελειώσαμε.
Τώρα για να δείξουμε την δεύτερη ισότητα κάνουμε τα ίδια μόνο που το κλάσμα \frac{2y-x}{a-3b} το γράφουμε ως \frac{x-2y}{3b-a} (για να εμφανίσουμε το χ-y)


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Μάιος 21, 2011 1:00 am

Συγχαρητήρια qwerty για την ποιότητα της λύσης στην άσκηση 15.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Μάιος 21, 2011 5:22 pm

Εχουν μείνει άλυτες οι ΑΣΚΗΣΗ 13 και ΑΣΚΗΣΗ 16.
Πριν προχωρήσουμε σε επόμενες ασκήσεις, ας δούμε μερικές χρήσιμες παρατηρήσεις:

(α) Είναι γνωστό, ότι για να βρούμε το άθροισμα 1+2+3+...+100, παρατηρούμε ότι :
1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, ...
συνεπώς, παίρνοντας ανά ζεύγη τους πιο πάνω αριθμούς, (όπου τα ζεύγη είναι 50 στο πλήθος) βρίσκουμε το ζητούμενο άθροισμα ίσο με 50.101, δηλαδή 5050.

Γενικά, ας γνωρίζουμε ότι

1+2+3+...+n = \frac{n.(n+1)}{2}

(β) Στη συνέχεια, θα δούμε με ποιον τρόπο μπορούμε να βρούμε ένα πλήθος αριθμών, όταν κάθε ένας από αυτούς (από τον δεύτερο και μετά) είναι ίσος με τον προηγούμενό του συν ένα σταθερό αριθμό.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Να βρεθεί το πλήθος των αριθμών: 4,9,14,...,1499Παρατηρούμε ότι

1ος αριθμός: 4 =4+0.5

2ος αριθμός: 9 =4+1.5

3ος αριθμός: 14 =4+2.5
.....
.....
.....
νιοστός αριθμός: 1499 =4+(ν-1).5

Οπότε για να βρούμε το πλήθος ν των αριθμών, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση 1499=4+(ν-1).5 από όπου βρίσκουμε ν=300.

(ΣΗΜ: Σε μεγαλύτερη τάξη στο Λύκειο, θα γίνει εκτενέστερη μελέτη τέτοιων αριθμών, αλλά για τις ανάγκες των διαγωνισμών του Γυμνασίου, αρκουν αυτά που αναφέραμε)

Ας δούμε και ένα ακόμα παράδειγμα, που θα χρησιμοποιήσουμε την πιο πάνω γνώση:

Να βρεθεί το άθροισμα: 3+7+11+...+399Έχουμε:

3=3+0.4
7=3+1.4
11=3+2.4
.....
.....
399=3+(ν-1).4

Από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε ν=100

Με πρόσθεση τώρα κατά μέλη των παραπάνω ισοτήτων βρίσκουμε:

3+7+11+...+399=100.3 +1.4+2.4+...+99.4=300+4.(1+2+3+...+99)=300+4.\frac{99(99+1)}{2}=300+4.4950=20100

Οι επόμενες δύο ασκήσεις έχουν τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Β Γυμνασίου

ΑΣΚΗΣΗ 17 :

Να προσδιορίσετε το άθροισμα: A=200-198+196-194+192-190+...+4-2


ΑΣΚΗΣΗ 18 :

Δίνονται οι παραστάσεις:A=2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+\frac{5}{4}+...+\frac{2001}{2000}, B=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2000}

Να βρείτε τον αριθμό A-B


Φερμά_96
Δημοσιεύσεις: 182
Εγγραφή: Σάβ Απρ 30, 2011 3:43 pm
Τοποθεσία: Κύπρος

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φερμά_96 » Κυρ Μάιος 22, 2011 12:37 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 16 :
Ο αριθμός Α προκύπτει από το γινόμενο δύο διαδοχικών θετικών ακεραίων και είναι μικρότερος του 20
ενώ ο αριθμός Β προκύπτει από το γινόμενο τριών θετικών διαδοχικών ακεραίων και είναι μικρότερος του 30.
Αν το πηλίκο \displaystyle{\frac{A}{B}} έχει την ιδιότητα να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου, να βρεθεί η τιμή της παράστασης: K=1000\left(\frac{A}{B} \right)^{1000}+2004A^{2}-2004B^{2}
πρέπει A=a(a+1)<20,B=b(b+1)(b+2)<30
Το B είναι προφανώς πολλαπλάσιο του 3.
Αφού A/B\in Z, πρέπει B|A
Αφού 3|B, πρέπει 3|A
Αρα ή 3|a ή 3|a+1.
Επειδή 4 \times 5=20,
a,(a+1)\in {1,2,3,4}
άρα απαραίτητα a=3 , a+1=4 ή a=2, a+1=3
οπότε A=12 ή A=6
Οι διαιρέτες του 12 είναι 1,2,3,4,6,12.
Οπότε B=1\times2\times3=6 or B=2\times3\times4=24
Σε καμία από τις δυο περιπτώσεις A/B δεν είναι τέλειο τετράγωνο.
Οπότε A=6.
Οι διαιρέτες του 6 είναι 1,2,3,6.
Οπότε πρέπει B=1\times2\times3=6
και άρα A/B=1
Και άρα K=1000+2004-2004=1000
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 17 :

Να προσδιορίσετε το άθροισμα: A=200-198+196-194+192-190+...+4-2
1ος Τρόπος
A=200-198+196-194+...+4-2 = (200+196+...+4)-(198+194+...+2) = (50/2)(200+4) - (50/2)(198+2) =25 \times204-25\times200=25\times4=100 (αριθμητικές σειρές)
ή
2ος Τρόπος
A=200-198+196-194+...+4-2=2+2+2+2+2+....+2 = 2\times(200/4)=100
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 18 :

Δίνονται οι παραστάσεις:\displaystyle{A=2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+\frac{5}{4}+...+\frac{2001}{2000}, ~~ B=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2000}}
Να βρείτε τον αριθμό A-B
A-B=\frac{2-1}{1}+\frac{3-1}{2}+\frac{4-1}{3}+...+\frac{2001-1}{2000} = 1+1+1+1....+1=2000
τελευταία επεξεργασία από Φερμά_96 σε Σάβ Μάιος 28, 2011 12:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Μάιος 22, 2011 2:33 pm

Συγχαρητήρια στον Φερμά-96 για τις επί πλέον γνώσεις που έχει στην θεωρία των αριθμών. Με την ευκαιρία, να τονίσουμε ότι:

:arrow: Το γινόμενο δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών, διαιρείται πάντα με το 2

Η απόδειξη της πρότασης αυτής είναι εύκολη και αφήνεται ως άσκηση (δείτε εξ άλλου και το επόμενο)

:arrow: Το γινόμενο τριών διαδοχικών φυσικών αριθμών, διαιρείται πάντα με το 3

Απόδειξη: Έστω α=ν(ν+1)(ν+2).

Από την ευκλείδια διαίρεση του ν με τον 3, έχουμε ν=3κ+υ, όπου υ=0,1,2

Άρα ν=3κ, ή ν=3κ+1, ή ν=3κ+2

1η Περίπτωση: ν=3κ

Τότε α=3κ(3κ+1)(3κ+2) και άρα ο α διαιρείται με το 3

2η Περίπτωση: ν=3κ+1

Τότε α=(3κ+1)(3κ+2)(3κ+3)=3(3κ+1)(3κ+2)(κ+1) και άρα ο α διαιρείται με το 3

3η Περίπτωση: ν=3κ+2

Τότε α=(3κ+2)(3κ+3)(3κ+4)=3(3κ+2)(κ+1)(3κ+4) και άρα και πάλι ο α είναι πολλαπλάσιο του 3


:arrow: Γενικά, το γινόμενο ν διαδοχικών φυσικών αριθμών, διαιρείται με το ν

Προχωρούμε τώρα με δύο ακόμα ασκήσεις που έχουν τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Β Γυμνασίου:

ΑΣΚΗΣΗ 19 :
Αν a=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1999}

και b=1+\frac{2}{4}+\frac{4}{6}+\frac{6}{8}+...+\frac{3996}{3998}

να βρείτε τον αριθμό \frac{a+b}{2}


ΑΣΚΗΣΗ 20 :
Αν για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει η ισότητα: \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}

να υπολογίσετε το άθροισμα: \displaystyle{S=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2000.2001}}


Άβαταρ μέλους
ΑΡΣΕΝΟΗ
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 5:23 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Εύβοιας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΑΡΣΕΝΟΗ » Κυρ Μάιος 22, 2011 3:36 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 20 :
Αν για κάθε θετικό ακέραιο n ισχύει η ισότητα: \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}

να υπολογίσετε το άθροισμα: \displaystyle{S=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2000.2001}}
Απο την ισότητα \displaystyle\ \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} μπορούμε να γράψουμε:
\displaystyle\ \frac{1}{1{\cdot}2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}

\displaystyle\ \frac{1}{2{\cdot}3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}

\displaystyle\ \frac{1}{3{\cdot}4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}
.
.
.
.
\displaystyle\ \frac{1}{2000{\cdot}2001}=\frac{1}{2000}-\frac{1}{2001}

Απο τα παραπάνω έχουμε:
\displaystyle\ S=\frac{1}{1{\cdot}2}+\frac{1}{2{\cdot}3}+\frac{1}{3{\cdot}4}+\frac{1}{4{\cdot}5}+...+\frac{1}{2000{\cdot}2001}=

\displaystyle\ \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2} \right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5} \right)+...+\left(\frac{1}{2000}-\frac{1}{2001} \right)=

\displaystyle\ \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2000}-\frac{1}{2001}=

Παρατηρούμε πώς γίνονται διαδοχικές απλοποιήσεις και αυτό που μένει είναι:

\displaystyle\ \frac{1}{1}-\frac{1}{2001}=\frac{2001}{2001}-\frac{1}{2001}=\frac{2000}{2001}


Μερικές φορές είναι τα μικρότερα πράγματα αυτά,
που γεμιζουν το μεγαλύτερο κομμάτι της καρδιάς μας...
Φερμά_96
Δημοσιεύσεις: 182
Εγγραφή: Σάβ Απρ 30, 2011 3:43 pm
Τοποθεσία: Κύπρος

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φερμά_96 » Κυρ Μάιος 22, 2011 4:35 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 19 :
Αν a=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1999}

και b=1+\frac{2}{4}+\frac{4}{6}+\frac{6}{8}+...+\frac{3996}{3998}

να βρείτε τον αριθμό \frac{a+b}{2}
a= 1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1999}
b=1+\frac{2}{4}+\frac{4}{6}+\frac{6}{8}+...+\frac{3996}{3998}=1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+...+\frac{1998}{1999}

a+b=(1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1999})+(1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+...+\frac{1998}{1999}) = 1+(1+\frac{1+1}{2}+\frac{1+2}{3}+...+\frac{1+1998}{1999})=1+(1+1+1+1+...+1)=1+1999=2000

\Rightarrow \frac{a+b}{2}=1000


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Μάιος 22, 2011 4:55 pm

Τέλεια παιδιά!!! Μας μένει άλυτη μόνο η ΑΣΚΗΣΗ 13. (Την βλέπω την πρόκριση για τον επόμενο διαγωνισμό της ΕΜΕ και του ΚΑΓΚΟΥΡΩ). Από τις επόμενες δύο ασκήσεις, η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Γ Γυμνασίου:

ΑΣΚΗΣΗ 21 :
(α) Να αποδείξετε ότι: \frac{2}{n(n+1)(n+2)}=\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)-\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)

(β) Να υπολογίσετε το άθροισμα: S=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{1999.2000.2001}

ΑΣΚΗΣΗ 22 :
Να εξετάσετε αν ο παρακάτω αριθμός είναι θετικός ή αρνητικός:

Α=(-13)(-17)(-21)(-25). ... .(-4013)


Άβαταρ μέλους
ΑΡΣΕΝΟΗ
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 5:23 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Εύβοιας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΑΡΣΕΝΟΗ » Κυρ Μάιος 22, 2011 5:27 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 22 :
Να εξετάσετε αν ο παρακάτω αριθμός είναι θετικός ή αρνητικός:

Α=(-13)(-17)(-21)(-25). ... .(-4013)
Όι αριθμοί απο το 13 έως το 4013 γράφονται ώς εξείς:
13=13+0.4
17=13+1.4
21=13+2.4
25=13+3.4
.
.
.
4013=13+x.4
Λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε οτι το χ είναι 1000.Άρα ο 4013 είναι ο χιλιοστός πρώτος αριθμός(και το 13 στην αρχή το προσθέτουμε).Το 1001 είναι περιττός άρα το αποτέλεσμα της παράστασης θα είνα αρνητικός αριθμός.

Υ.Γ:δεν είμαι σίγουρη για το αν είναι σωστά τα παραπάνω :roll: :cry:


Μερικές φορές είναι τα μικρότερα πράγματα αυτά,
που γεμιζουν το μεγαλύτερο κομμάτι της καρδιάς μας...
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Μάιος 22, 2011 6:01 pm

ΑΡΣΕΝΟΗ έγραψε:Για την 22:
Όι αριθμοί απο το 13 έως το 4013 γράφονται ώς εξείς:
13=13+0.4
17=13+1.4
21=13+2.4
25=13+3.4
.
.
.
4013=13+x.4
Λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε οτι το χ είναι 1000.Άρα ο 4013 είναι ο χιλιοστός πρώτος αριθμός(και το 13 στην αρχή το προσθέτουμε).Το 1001 είναι περιττός άρα το αποτέλεσμα της παράστασης θα είνα αρνητικός αριθμός.

Υ.Γ:δεν είμαι σίγουρη για το αν είναι σωστά τα παραπάνω :roll: :cry:

Σωστά απάντησες ΑΡΣΕΝΟΗ. Μπράβο!!


Φερμά_96
Δημοσιεύσεις: 182
Εγγραφή: Σάβ Απρ 30, 2011 3:43 pm
Τοποθεσία: Κύπρος

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φερμά_96 » Κυρ Μάιος 22, 2011 6:08 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 21 :
(α) Να αποδείξετε ότι: \frac{2}{n(n+1)(n+2)}=\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)-\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)

(β) Να υπολογίσετε το άθροισμα: S=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{1999.2000.2001}
α)
\frac{2}{n(n+1)(n+2)}\equiv \frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}+\frac{C}{n+2} (μερικά κλάσματα)
με απαλοιφή παρονομαστών:
{2}\equiv A(n+2)(n+1)+B(n+2)n+C(n+1)n
Μιδενίζοντας τα n, n+1, και n+2 αντίστοιχα έχουμε
n=0 \rightarrow 2=2A+0B+0C=2A \Rightarrow A=1
n=-1 \rightarrow 2=0A+(-1)B+0C=-B \Rightarrow B=-2
n=-2 \rightarrow 2=0A+0B+2C=2C \Rightarrow C=1
οπότε\frac{2}{n(n+1)(n+2)}\equiv \frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}= \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)-\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)
QED
μάλλον θα υπάρχει και άλλη λύση, πολύ πιο απλή. Η συγκεκριμένη όμως μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε κάθε πρόβλημα αυτού του τύπου, και γι' αυτό θα είναι πιο χρήσιμη στον πιθανό αναγνώστη. :D

β)S=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{1999.2000.2001}=\frac{(\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+...+\frac{2}{1999.2000.2001})}{2}\displaystyle{=\frac{(1-\frac{1}{2})-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...+(\frac{1}{1999}-\frac{1}{2000})-(\frac{1}{2000}-\frac{1}{2001})}{2} 
μετά από τις διαδοχικές απλοποιήσεις: 
S=\frac{(1-\frac{1}{2})-(\frac{1}{2000}-\frac{1}{2001})}{2}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{2001-2000}{2000\times 2001}}{2}}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2000\times 2001}}{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4000\times 2001}=\frac{1000\times2001-1}{4000\times2001}=\frac{2000999}{4000\times2001}
υπερβολικά πολύπλοκο για να είναι σωστό... τι έκανα λάθος? :oops:


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#38

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Μάιος 22, 2011 6:28 pm

Φερμά_96 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 21
α)
\frac{2}{n(n+1)(n+2)}\equiv \frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}+\frac{C}{n+2} (μερικά κλάσματα)
με απαλοιφή παρονομαστών:
{2}\equiv A(n+2)(n+1)+B(n+2)n+C(n+1)n
Μιδενίζοντας τα n, n+1, και n+2 αντίστοιχα έχουμε
n=0 \rightarrow 2=2A+0B+0C=2A \Rightarrow A=1
n=-1 \rightarrow 2=0A+(-1)B+0C=-B \Rightarrow B=-2
n=-2 \rightarrow 2=0A+0B+2C=2C \Rightarrow C=1
οπότε\frac{2}{n(n+1)(n+2)}\equiv \frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}= \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)-\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right)
QED
μάλλον θα υπάρχει και άλλη λύση, πολύ πιο απλή. Η συγκεκριμένη όμως μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε κάθε πρόβλημα αυτού του τύπου, και γι' αυτό θα είναι πιο χρήσιμη στον πιθανό αναγνώστη. :D

β)S=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{1999.2000.2001}=\frac{(\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+...+\frac{2}{1999.2000.2001})}{2}\displaystyle{=\frac{(1-\frac{1}{2})-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...+(\frac{1}{1999}-\frac{1}{2000})-(\frac{1}{2000}-\frac{1}{2001})}{2} 
μετά από τις διαδοχικές απλοποιήσεις: 
S=\frac{(1-\frac{1}{2})-(\frac{1}{2000}-\frac{1}{2001})}{2}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{2001-2000}{2000\times 2001}}{2}}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2000\times 2001}}{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{4000\times 2001}=\frac{1000\times2001-1}{4000\times2001}=\frac{2000999}{4000\times2001}
υπερβολικά πολύπλοκο για να είναι σωστό... τι έκανα λάθος? :oops:

Κάνε τις πράξεις στο δεύτερο μέλος και θα βγει αμέσως.


Φερμά_96
Δημοσιεύσεις: 182
Εγγραφή: Σάβ Απρ 30, 2011 3:43 pm
Τοποθεσία: Κύπρος

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#39

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φερμά_96 » Κυρ Μάιος 22, 2011 6:35 pm

ποιο απ' όλα τα δεύτερα μέλη εννοείς? :oops:
(είμαι και ελαφρώς πάραπολυ κουρασμένος οπότε δεν τα πέρνω γρήγορα...)


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4208
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

#40

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Μάιος 22, 2011 7:50 pm

Φερμά_96 έγραψε:ποιο απ' όλα τα δεύτερα μέλη εννοείς? :oops:
(είμαι και ελαφρώς πάραπολυ κουρασμένος οπότε δεν τα πέρνω γρήγορα...)
Μάλλον για το δεύτερο ερώτημα, λες.

Σωστά έχεις εργαστεί. Ίσως είναι πιο εύκολο αν απευθείας χρησιμοποιούσες το (α) ερώτημα, του οποίου η απόδειξη πράγματι είναι πιο εύκολη αν κάνεις τις πράξεις στο δεύτερο μέλος. Ωστόσο μπράβο που γνωρίζεις πράγματα που διδάσκονται σε μεγαλύτερες τάξεις.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης