Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1186
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2761

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Δευ Ιαν 15, 2018 2:43 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Κυρ Ιαν 14, 2018 2:38 pm
ΑΣΚΗΣΗ 1373

Αν οι a,b,c \in \mathbb{R} ικανοποιούν την

\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=1,

να δείξετε ότι

\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=0.
Πολλαπλασιάζω τη δοθείσα με a+b+c, τότε
\dfrac{a^2+a(b+c)}{b+c}+\dfrac{b^2+b(c+a)}{c+a}+\dfrac{c^2+c(a+b)}{a+b}=a+b+c.
Απλοποιώντας παίρνουμε
\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}=0.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4207
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2762

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Ιαν 17, 2018 7:16 pm

ΑΣΚΗΣΗ 1374: Έστω \displaystyle{A=\frac{1}{1.3}-\frac{1}{2.4}+\frac{1}{3.5}-\frac{1}{4.6}+ . . . +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}

Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\frac{1}{4}<A\leq \frac{1}{3}}

ΠΗΓΗ: (Ρουμάνικο βιβλίο για διαγωνισμούς)


Γιώργος Μηλιάκος
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Τρί Νοέμ 20, 2018 6:53 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2763

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μηλιάκος » Τρί Νοέμ 20, 2018 7:29 pm

Στην άσκηση 38 του Εικοσιδωδεκάεδρου, τεύχος 20
Προτάθηκε από τον Δημήτρη Ιωάννου.

Να βρεθούν οι τιμές των ακεραίων αριθμών x, y που επαληθεύουν την εξίσωση

x^2+y^2=x-y.

Λύση: Ισχύει x^2\geq x και y^2\geq -y.
Για να έχει λύση η εξίσωση πρέπει να έχουμε:

x^2=x \:(1) και y^2=-y \: (2)

Οι λύσεις των εξισώσεων (1) και (2) είναι

x=0 ή x=1 και y=0 ή y=-1.

Άρα οι λύσεις της εξίσωσης είναι τα ζεύγη:

(0,0) , (0,-1) , (1,0) , (1,-1)


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 82
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#2764

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Ιαν 11, 2019 6:49 pm

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
Τετ Ιαν 17, 2018 7:16 pm
ΑΣΚΗΣΗ 1374: Έστω \displaystyle{A=\frac{1}{1.3}-\frac{1}{2.4}+\frac{1}{3.5}-\frac{1}{4.6}+ . . . +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}

Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\frac{1}{4}<A\leq \dfrac{1}{3}}

ΠΗΓΗ: (Ρουμάνικο βιβλίο για διαγωνισμούς)
Θα δείξουμε ότι A\leq \dfrac{1}{3}.

\displaystyle{A=\frac{1}{1.3}-\frac{1}{2.4}+\frac{1}{3.5}-\frac{1}{4.6}+ . . . +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}}=\frac{1}{3}-\left ( \frac{1}{2\cdot 4}-\frac{1}{3\cdot 5}....-\frac{1}{\left ( 2n-1 \right )\left ( 2n+1 \right )} \right )
Επειδή η παράσταση που βρίσκεται μέσα στην παρένθεση έχει άρτιο πλήθος ορών μπορούμε να τους πάρουμε ανά δύο.
Επίσης τα κλάσματα μικραίνουν όσο πηγαίνουμε προς τα αριστερά άρα η παράσταση στην παρένθεση είναι πάντα θετικός αριθμός. Έτσι A\leq \dfrac{1}{3} (η ισότητα ισχύει όταν n=1).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες