Εξίσωση!

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6198
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Εξίσωση!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Νοέμ 02, 2013 7:33 pm

Να λυθεί η εξίσωση

\displaystyle{\rm 5^x\sqrt{\frac{1}{2}+x}+7^x\sqrt{\frac{1}{2}-x}=\sqrt{25^x+49^x}}


Μάγκος Θάνος
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1466
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Εξίσωση!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Σάβ Νοέμ 02, 2013 8:17 pm

Από την ταυτότητα του Lagrange ισχύει:

\displaystyle{\rm \left( 5^x\sqrt{\frac{1}{2}+x}+7^x\sqrt{\frac{1}{2}-x}\right)^2+\left( 5^x\sqrt{\frac{1}{2}-x}-7^x\sqrt{\frac{1}{2}+x}\right)^2=25^x+49^x}

Η εξίσωση είναι λοιπόν ισοδύναμη με την \dfrac{5^x}{7^x}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{2}+x}{\dfrac{1}{2}-x}}.

Για x>0 το πρώτο μέλος είναι μικρότερο της μονάδας ενώ το δεύτερο ξεπερνά τη μονάδα.

Για x<0 το δεύτερο μέλος είναι μικρότερο της μονάδας ενώ το πρώτο ξεπερνά τη μονάδα.

Η μόνη λύση είναι το 0.


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Μπουμπουλής Κώστας
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Τρί Απρ 26, 2011 1:58 am

Re: Εξίσωση!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπουμπουλής Κώστας » Σάβ Νοέμ 02, 2013 11:52 pm

Και μια λύση που μου ήρθε με ...διανύσματα: Έστω \vec{a}=\left(5^x,7^x \right) , \vec{b}=\left(\sqrt{\frac{1}{2}+x},\sqrt{\frac{1}{2}-x} \right). Τότε \right) \left|\vec{a} \right|=\sqrt{25^x+49^x} και \left|\vec{b} \right|=1.Η εξίσωση γίνεται \vec{a}\cdot \vec{b}=\left|\vec{a} \right|\Leftrightarrow \left|\vec{a} \right|\cdot \left|\vec{b} \right|\cdot cos\theta =\left|\vec{a} \right| \Leftrightarrow  cos\theta =1 όπου \theta η γωνία των διανυσμάτων, αφού \left|\vec{a} \right|\neq 0 και \left|\vec{b} \right|=1. Αρα \vec{a}//\vec{b} οπότε det\left(\vec{a},\vec{b} \right)=0 \Leftrightarrow \frac{5^x}{7^x}=\sqrt{\frac{\frac{1}{2}+x}{\frac{1}{2}-x}} και στη συνέχεια όπως ο ...προ- λελύσας Παύλος Μαραγκουδάκης, βρίσκουμε x=0.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης