ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Junior- BΑΛΚΑΝΙΑΔΑ ΝΕΩΝ,J-2.1
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Junior- BΑΛΚΑΝΙΑΔΑ ΝΕΩΝ,J-2.1
Ξεκινάω με μια σελίδα ασκήσεων για ολυμπιάδες junior. Τις βάζω αρχικά σε pdf , αλλά όποιος τις θελήσει αργότερα για να κάνει σημειώσεις ή κάτι άλλο σε μαθηματικό σχολείο ή αλλού,να μου τις ζητήσει.
Θα προσθέτω λίγο - λίγο από μια σελίδα, κάθε φορά που θα έχω χρόνο.
Τις λύσεις μπορούμε να τις βάζουμε εδώ με αναγραφή στο πάνω μέρος του αριθμού της άσκησης.
Μπάμπης
Θα προσθέτω λίγο - λίγο από μια σελίδα, κάθε φορά που θα έχω χρόνο.
Τις λύσεις μπορούμε να τις βάζουμε εδώ με αναγραφή στο πάνω μέρος του αριθμού της άσκησης.
Μπάμπης
- Συνημμένα
-
- 0ΑΣΚΗΣΕΙΣ,Ολυμπιάδες junior 2.pdf
- (118.1 KiB) Μεταφορτώθηκε 132 φορές
-
- ScreenShot002.png (121.49 KiB) Προβλήθηκε 2327 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 243
- Εγγραφή: Τρί Ιουν 23, 2009 10:51 pm
Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Junior- BΑΛΚΑΝΙΑΔΑ ΝΕΩΝ
Mια γρήγορη λύση για το 3.
Από τις ισότητες παίρνουμε ότι:
.
Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:
.
Όμως απο am-gm έχουμε ότι:
και η ισότητα ισχύει μόνο όταν ....
Από τις ισότητες παίρνουμε ότι:
.
Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:
.
Όμως απο am-gm έχουμε ότι:
και η ισότητα ισχύει μόνο όταν ....
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Junior- BΑΛΚΑΝΙΑΔΑ ΝΕΩΝ
Για την 2:
Αφού άρα
Όμοια
Από τις πρέπει για όλες τις τιμές του .
Άρα πρέπει (που αποκλείεται) ή που δίνει .
Αλέξανδρος
Αφού άρα
Όμοια
Από τις πρέπει για όλες τις τιμές του .
Άρα πρέπει (που αποκλείεται) ή που δίνει .
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Junior- BΑΛΚΑΝΙΑΔΑ ΝΕΩΝ
Για την 4:
και .
Άρα
Για την 6:
Κάθε προσθετέος είναι ίσος με 1 ή -1 ανάλογα αν ο παρονομαστής είναι θετικός ή αρνητικός. Όμως όλοι οι προσθετέοι είναι 8 σε πλήθος και το άθροισμα είναι ίσο με 8 συνεπώς κάθε προσθετέος πρέπει να είναι ίσος με 1. Άρα όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 9 έως και το 19 είναι λύσεις της εξίσωσης.
Αλέξανδρος
και .
Άρα
Για την 6:
Κάθε προσθετέος είναι ίσος με 1 ή -1 ανάλογα αν ο παρονομαστής είναι θετικός ή αρνητικός. Όμως όλοι οι προσθετέοι είναι 8 σε πλήθος και το άθροισμα είναι ίσο με 8 συνεπώς κάθε προσθετέος πρέπει να είναι ίσος με 1. Άρα όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 9 έως και το 19 είναι λύσεις της εξίσωσης.
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Junior- BΑΛΚΑΝΙΑΔΑ ΝΕΩΝ
Άλλη μία.Dimitris X έγραψε:Mια γρήγορη λύση για το 3.
Αν δύο από τα a, b, c είναι ίσα, απλό. Αλλιώς χωρίς βλάβη a > b > c. Τότε όμως
, άτοπο.
Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Junior- BΑΛΚΑΝΙΑΔΑ ΝΕΩΝ
Άλλη λύση της 4: Θέτουμε , οπότε . Είναι απλό να δούμε ότι x > y (ισοδυναμεί με την που ισχύει διότι Α > 1.
Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου
Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Junior- BΑΛΚΑΝΙΑΔΑ ΝΕΩΝ,J-2.1
Για την 5
Από α : και επειδή υπάρχει φυσικός ώστε Άρα
Aπό β :
Aπό γ:
Πρέπει με πρώτο. Άρα . Πρέπει ή αφού ο είναι πρώτος.
Έχουμε : για να μπορεί να ισχύει αυτό πρέπει και πρώτο. Με έχουμε που σημαίνει ότι .
Πρέπει να βρούμε πρώτο έτσι που πρώτος με
καθώς αν τότε άτοπο αφού πρέπει .Mία τιμή για το είναι η με και(Πράγματι πρώτος).
Δεν κατάφερα να βρώ άλλον κατάλληλο .Αφού όμως δεν έχουν μπει περιορισμοί για το πρέπει αποδείξουμε π.χ ότι ή κάτι άλλο που να περιορίζει το (χρησιμοποιώντας την , εγώ ακόμα δεν το έχω καταφέρει.
Από α : και επειδή υπάρχει φυσικός ώστε Άρα
Aπό β :
Aπό γ:
Πρέπει με πρώτο. Άρα . Πρέπει ή αφού ο είναι πρώτος.
- Εάν τότε και επειδή ο είναι πρώτος
ή .
i) Εαν τότε άτοπο αφού πρώτος.
ii) Εαν τότε άτοπο αφού πρώτος.
Έχουμε : για να μπορεί να ισχύει αυτό πρέπει και πρώτο. Με έχουμε που σημαίνει ότι .
Πρέπει να βρούμε πρώτο έτσι που πρώτος με
καθώς αν τότε άτοπο αφού πρέπει .Mία τιμή για το είναι η με και(Πράγματι πρώτος).
Δεν κατάφερα να βρώ άλλον κατάλληλο .Αφού όμως δεν έχουν μπει περιορισμοί για το πρέπει αποδείξουμε π.χ ότι ή κάτι άλλο που να περιορίζει το (χρησιμοποιώντας την , εγώ ακόμα δεν το έχω καταφέρει.
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Τρί Δεκ 04, 2018 12:20 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Junior- BΑΛΚΑΝΙΑΔΑ ΝΕΩΝ,J-2.1
.ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Δευ Δεκ 03, 2018 7:38 pm
Πρέπει να βρούμε πρώτο έτσι που πρώτος με
...
Δεν κατάφερα να βρώ άλλον κατάλληλο .Αφού όμως δεν έχουν μπει περιορισμοί για το πρέπει αποδείξουμε π.χ ότι ή κάτι άλλο που να περιορίζει το (χρησιμοποιώντας την , εγώ ακόμα δεν το έχω καταφέρει.
Υπόδειξη: Δείξε ότι για κάθε πρώτο , ο αριθμός είναι σύνθετος. Η απόδειξη είναι μια-δυο γραμμές.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Junior- BΑΛΚΑΝΙΑΔΑ ΝΕΩΝ,J-2.1
Σας ευχαριστώ κύριε Μιχάλη για την υπόδειξη.
Αν τότε με και ή
Έχουμε ή ή ή άρα .
Επίσης . Άρα και επειδή
παίρνουμε δηλαδή άρα σύνθετος. Επίσης η τιμή απορρίπτεται γιατί αλλιώς .
Αν τότε με και ή
Έχουμε ή ή ή άρα .
Επίσης . Άρα και επειδή
παίρνουμε δηλαδή άρα σύνθετος. Επίσης η τιμή απορρίπτεται γιατί αλλιώς .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες