Ανισότητα

simantiris j. · #1

Καλησπέρα σε όλους
Αν οι αριθμοί $\alpha ,\beta ,\gamma$ είναι θετικοί και όχι μεγαλύτεροι του

και επιπλέον ισχύει ότι $\alpha +\beta +\gamma =1$ αποδείξτε ότι
$\frac{\alpha }{2-\alpha }+\frac{\beta }{2-\beta }+\frac{\gamma }{2-\gamma }\geq \frac{3}{5}$

#2

Από Cauchy-Schwarz

$\displaystyle{\sum \frac{a}{2-a}=\sum \frac{a^2}{2a-a^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)-(a^2+b^2+c^2)}=\frac{1}{2-(a^2+b^2+c^2)}=\frac{3}{6-3(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac{3}{5},}$

αφού

$\displaystyle{3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2=1.}$

simantiris j. · #3

Πολύ ωραία λύση.Επιτρέψτε μου να δώσω άλλη μια.
Ισχύει ότι $\frac{\alpha }{2-\alpha }=\frac{-\left(2-\alpha \right)+2}{2-\alpha }=-1+\frac{2}{2-\alpha }$ Επομένως η ανισότητα γίνεται $\frac{2}{2-\alpha }+\frac{2}{2-\beta }+\frac{2}{2-\gamma }-3\geq \frac{3}{5}\Leftrightarrow \frac{2}{2-\alpha }+\frac{2}{2-\beta }+\frac{2}{2-\gamma }\geq \frac{18}{5}\Leftrightarrow \frac{1}{2-\alpha }+\frac{1}{2-\beta }+\frac{1}{2-\gamma }\geq \frac{9}{5}$
Αυτή όμως προκύπτει από την ανισότητα andreescu αφού $\frac{1}{2-\alpha }+\frac{1}{2-\beta }+\frac{1}{2-\gamma }\geq \frac{\left(1+1+1 \right)^2}{6-\left(\alpha +\beta +\gamma \right)}=\frac{9}{5}$
Η ισότητα ισχύει όταν $\alpha =\beta =\gamma =\frac{1}{3}$

#4

simantiris j. έγραψε:Καλησπέρα σε όλους
Αν οι αριθμοί $\alpha ,\beta ,\gamma$ είναι θετικοί και όχι μεγαλύτεροι του και επιπλέον ισχύει ότι $\alpha +\beta +\gamma =1$ αποδείξτε ότι
$\frac{\alpha }{2-\alpha }+\frac{\beta }{2-\beta }+\frac{\gamma }{2-\gamma }\geq \frac{3}{5}$

Και αλλιώς: Χρησιμοποιούμε την ανισότητα $\displaystyle{\frac {2}{2-a} \ge \frac {18a-1}{25} , \forall a\in [0, \, 2)}$ και όμοια για τα b,c

. Η ανισότητα αυτή ισχύει διότι, πολλαπλασιάζοντας χιαστί και μαζεύοντας τους όρους, ισοδυναμεί με την αληθή $\displaystyle{(3a-1)^2\ge 0}$ .

Προσθέτοντας κατά μέλη έπεται

$\displaystyle{\frac {2}{2-a} +\frac {2}{2-b} +\frac {2}{2-c} \ge \frac {18(a+b+c)-3}{25} = \frac {18\cdot 1 -3}{25}= \frac {3}{5}}$ , όπως θέλαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

#5

Φοβερές λύσεις .

Ειδικά στη λύση του κ. Λάμπρου , εγώ ο θνητός έμεινα εμβρόντητος

#6

Doloros έγραψε:Φοβερές λύσεις .

Ειδικά στη λύση του κ. Λάμπρου , εγώ ο θνητός έμεινα εμβρόντητος

Ας εξηγήσουμε πώς "μάντεψε" ο Μιχάλης την ανισότητά του. Πρόκειται για τη μέθοδο της εφαπτομένης, η οποία, εν ολίγοις, λέει το εξής:

Υποψιαζόμαστε ότι η ισότητα στην αποδεικτέα ισχύει όταν τα $\displaystyle{a,b,c}$ γίνουν ίσα, το οποίο, λόγω της $\displaystyle{a+b+c=1}$ συμβαίνει όταν $\displaystyle{a=b=c=\frac{1}{3}.}$
Εύκολα βλέπουμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{\frac{x}{2-x}}$ είναι κυρτή πρίν το $\displaystyle{2.}$

Άρα θα βρίσκεται "ψηλότερα" από την εφαπτομένη της, σε οποιοδήποτε σημείο της.

Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο με τετμημένη $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ είναι η $\displaystyle{y=\frac{18x-1}{25}}$

Άρα

$\displaystyle{\frac{2}{2-x}\geq \frac{18x-1}{25}.}$

#7

matha έγραψε:
Doloros έγραψε:Φοβερές λύσεις .

Ειδικά στη λύση του κ. Λάμπρου , εγώ ο θνητός έμεινα εμβρόντητος
Ας εξηγήσουμε πώς "μάντεψε" ο Μιχάλης την ανισότητά του. Πρόκειται για τη μέθοδο της εφαπτομένης, η οποία, εν ολίγοις, λέει το εξής:

Υποψιαζόμαστε ότι η ισότητα στην αποδεικτέα ισχύει όταν τα $\displaystyle{a,b,c}$ γίνουν ίσα, το οποίο, λόγω της $\displaystyle{a+b+c=1}$ συμβαίνει όταν $\displaystyle{a=b=c=\frac{1}{3}.}$
Εύκολα βλέπουμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{\frac{x}{2-x}}$ είναι κυρτή πρίν το $\displaystyle{2.}$

Άρα θα βρίσκεται "ψηλότερα" από την εφαπτομένη της, σε οποιοδήποτε σημείο της.

Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο με τετμημένη $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ είναι η $\displaystyle{y=\frac{18x-1}{25}}$

Άρα

$\displaystyle{\frac{2}{2-x}\geq \frac{18x-1}{25}.}$

Ευχαριστώ πολύ !

simantiris j. · #8

Εξαιρετικές λύσεις,ειδικά η λύση του κ.Λάμπρου με άφησε άναυδο(μόλις την είδα)

Παρεπιμπτόντος συγγνώμη για την υπόθεση ότι οι αριθμοί είναι μικρότεροι του

αφού είναι περιττή εξαιτίας της συνθήκης $\alpha +\beta +\gamma =1$

kostas_zervos · #9

simantiris j. έγραψε:Καλησπέρα σε όλους
Αν οι αριθμοί $\alpha ,\beta ,\gamma$ είναι θετικοί και όχι μεγαλύτεροι του και επιπλέον ισχύει ότι $\alpha +\beta +\gamma =1$ αποδείξτε ότι
$\frac{\alpha }{2-\alpha }+\frac{\beta }{2-\beta }+\frac{\gamma }{2-\gamma }\geq \frac{3}{5}$

Άλλη μια λύση (εκτός φακέλου):

Έστω $f(x)=\dfrac{x}{2-x}\;,\;x\in(0,2)$ . Είναι $f''(x)=\dfrac{4}{(2-x)^3}>0$ , άρα είναι κυρτή στο (0,2)

, επομένως:

$f(a)+f(b)+f(c)\geq 2f\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)\iff$

$\iff\dfrac{a}{2-a}+\dfrac{b}{2-b}+\dfrac{c}{2-c}\geq 3\cdot f\left(\dfrac{1}{3}\right)\iff$

$\iff\dfrac{a}{2-a}+\dfrac{b}{2-b}+\dfrac{c}{2-c}\geq \dfrac{3}{5}$

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση