Πέρα από το Δεκαδικό

apotin · #1

Να βρεθούν αριθμοί $\displaystyle{a, b, c, d}$ τέτοιοι ώστε:

$\displaystyle{\frac{a}{6} + \frac{b}{{36}} + \frac{c}{{216}} + \frac{d}{{1296}} = \frac{{442}}{{1296}}}$

#2

apotin έγραψε:Να βρεθούν αριθμοί $\displaystyle{a, b, c, d}$ τέτοιοι ώστε:

$\displaystyle{\frac{a}{6} + \frac{b}{{36}} + \frac{c}{{216}} + \frac{d}{{1296}} = \frac{{442}}{{1296}}}$

Η δοθείσα γράφεται και:

$\displaystyle{\alpha \cdot {6^3} + b \cdot {6^2} + c \cdot 6 + d = 442}$

Τώρα με ανάλυση στο "εξαδικό" σύστημα ο 442

γράφεται και $\displaystyle{442 = 2 \cdot {6^3} + 0 \cdot {6^2} + 1 \cdot 6 + 4 \cdot {6^0}}$

Επομένως:

$\displaystyle{a = 2,b = 0,c = 1,d = 4}$ .

#3

apotin έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 09, 2014 1:21 pm
Να βρεθούν αριθμοί $\displaystyle{a, b, c, d}$ τέτοιοι ώστε:

$\displaystyle{\frac{a}{6} + \frac{b}{{36}} + \frac{c}{{216}} + \frac{d}{{1296}} = \frac{{442}}{{1296}}}$

Φυσικά, μια προφανής λύση, σύμφωνα με τη διατύπωση της άσκησης, είναι η a=b=c=0

, και

Φιλικά,

Αχιλλέας

Σταμ. Γλάρος · #4

chris_gatos έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 10, 2014 1:05 am

apotin έγραψε:Να βρεθούν αριθμοί $\displaystyle{a, b, c, d}$ τέτοιοι ώστε:

$\displaystyle{\frac{a}{6} + \frac{b}{{36}} + \frac{c}{{216}} + \frac{d}{{1296}} = \frac{{442}}{{1296}}}$
Η δοθείσα γράφεται και:

$\displaystyle{\alpha \cdot {6^3} + b \cdot {6^2} + c \cdot 6 + d = 442}$

Τώρα με ανάλυση στο "εξαδικό" σύστημα ο γράφεται και $\displaystyle{442 = 2 \cdot {6^3} + 0 \cdot {6^2} + 1 \cdot 6 + 4 \cdot {6^0}}$

Επομένως:

$\displaystyle{a = 2,b = 0,c = 1,d = 4}$ .

Καλησπέρα .
Σύμφωνα με τα παραπάνω προκύπτουν και λύσεις του τύπου :
a=b=c=1

και

ή

,

και

κλπ.
Συνεπώς υπάρχουν πολλές τετράδες (άπειρες, αν δεν κάνω λάθος ; ) που ικανοποιούν τις προϋποθέσεις της άσκησης.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#5

Σταμ. Γλάρος έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 01, 2018 11:22 pm
Συνεπώς υπάρχουν πολλές τετράδες (άπειρες, αν δεν κάνω λάθος ; ) που ικανοποιούν τις προϋποθέσεις της άσκησης.

Σωστά. Άλλωστε είναι γραμμική με "τρεις βαθμούς ελευθερίας" . Ακόμα καλύτερα παρατηρούμε ότι για οποιαδήποτε ακέραια a,b,c

το αντίστοιχο

$\displaystyle{d=1296 \left ( \frac{{442}}{{1296}}- \frac{a}{6} - \frac{b}{{36}} - \frac{c}{{216}} \right ) = 442 - 216 a -36b - 6c }$

είναι επίσης ακέραιο. Δηλαδή έχουμε άπειρες ακέραιες τετράδες $(a,\, b,\, c,\, d)$ ως λύσεις.

Υποθέτω ότι αυτό που είχε στον νου του ο θεματοθέτης ήταν: Βρες μου στα γρήγορα ακέραια τετράδα ως άνω.

Μου θυμίζει το εξής που ήξερα από τα παιδικά μου χρόνια:

Βρες μου στα γρήγορα ακέραια τριάδα με 28A+30B+31C=365

.

Εσείς τι θα κάνατε;

gberdmath · #6

chris_gatos έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 10, 2014 1:05 am

apotin έγραψε:Να βρεθούν αριθμοί $\displaystyle{a, b, c, d}$ τέτοιοι ώστε:

$\displaystyle{\frac{a}{6} + \frac{b}{{36}} + \frac{c}{{216}} + \frac{d}{{1296}} = \frac{{442}}{{1296}}}$
Η δοθείσα γράφεται και:

$\displaystyle{\alpha \cdot {6^3} + b \cdot {6^2} + c \cdot 6 + d = 442}$

Τώρα με ανάλυση στο "εξαδικό" σύστημα ο γράφεται και $\displaystyle{442 = 2 \cdot {6^3} + 0 \cdot {6^2} + 1 \cdot 6 + 4 \cdot {6^0}}$

Επομένως:

$\displaystyle{a = 2,b = 0,c = 1,d = 4}$ .

chris gatos πολυ ωραια και ενδιαφερουσα η λυση σου στο εξαδικο

gberdmath · #7

Μια προφανης και πολυ ευκολη λυση για ολους συμφωνα με την διατυπωση της ασκησης ειναι η a=0,b=0,c=0,d=0 οπως εχει ηδη βρει ο Αχιλλεας

Ορέστης Λιγνός · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 02, 2018 2:34 pm
Βρες μου στα γρήγορα ακέραια τριάδα με .
Εσείς τι θα κάνατε;

Για ευκολία, αντί για A,B,C

, θα γράφω a,b,c

αντίστοιχα.

Μιας και θέλουμε ακέραιες λύσεις, επιλέγουμε $a,b,c \geqslant 0$ .

Είναι λοιπόν 28a+30b+31c=365

, και άρα

, δηλαδή

.

Παίρνουμε $\pmod {30}$ , και προκύπτει $c-2a \equiv 5 \mod 30$ , οπότε (αν υποθέσουμε ότι $c-2a \geqslant 0$ ) $2a+5 \leqslant c<11 \Rightarrow a<3$ και έχουμε τις λύσεις (a,b,c)=(0,7,5), (1,4,7), (2,1,9)

.

#9

gberdmath έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 02, 2018 3:10 pm
Μια προφανης και πολυ ευκολη λυση για ολους συμφωνα με την διατυπωση της ασκησης ειναι η a=0,b=0,c=0,d=0 οπως εχει ηδη βρει ο Αχιλλεας

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Μην ξεχνάς ότι στα ελληνικά οι λέξεις τονίζονται. Άλλωστε το τελευταίο είναι μέρος των κανονισμών μας (τους διάβασες;), οπότε πρέπει και για έναν ακόμη λόγο να γράφουμε σωστά ελληνικά.

Κάτι ακόμα. Η λύση του Αχιλλέα δεν είναι αυτή που λες. Η παρέμβασή του ήταν για να επισημάνει ότι υπάρχει και άλλη απλή λύση (προφανώς γνωρίζει περισσότερες). Από κει και πέρα τα ποστ που ακολούθησαν ήταν για να επισημάνουν το γεγονός ότι υπάρχουν άπειρες ακέραιες λύσεις
που μπορούν εύκολα να καταγραφούν. Αυτές που έγραψα, περιλαμβάνουν την λύση του Αχιλλέα.

#10

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 02, 2018 3:42 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 02, 2018 2:34 pm
Βρες μου στα γρήγορα ακέραια τριάδα με .
Εσείς τι θα κάνατε;
...
και έχουμε τις λύσεις .

Ορέστη, ωραιότατα. Άλλωστε βρήκες όλες τις λύσεις, τόσο απλά.

Για όσους δεν κατάλαβαν το "παιχνίδι" επισημαίνω:

Αυτό που είχα στον νου, δηλαδή να βρούμε "στο πιτσ φιτίλι" (κάποια) στην λύση 28A+30B+31C=365

είναι να παρατηρήσουμε
ότι ο χρόνος έχει 365

μέρες οι οποίες κατανέμονται "

στον Φεβρουάριο,

σε ισάριθμους μήνες των

ημερών, και μένουν

μήνες των

ημερών. Αυτό μας παραπέμπει στην λύση $A=1, \, B= 4, \, C=7$ , που βέβαια την βρήκες.

Ορέστης Λιγνός · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 02, 2018 4:49 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 02, 2018 3:42 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 02, 2018 2:34 pm
Βρες μου στα γρήγορα ακέραια τριάδα με .
Εσείς τι θα κάνατε;
...
και έχουμε τις λύσεις .
Ορέστη, ωραιότατα. Άλλωστε βρήκες όλες τις λύσεις, τόσο απλά.

Για όσους δεν κατάλαβαν το "παιχνίδι" επισημαίνω:

Αυτό που είχα στον νου, δηλαδή να βρούμε "στο πιτσ φιτίλι" (κάποια) στην λύση είναι να παρατηρήσουμε
ότι ο χρόνος έχει μέρες οι οποίες κατανέμονται " στον Φεβρουάριο, σε ισάριθμους μήνες των ημερών, και μένουν
μήνες των ημερών. Αυτό μας παραπέμπει στην λύση $A=1, \, B= 4, \, C=7$ , που βέβαια την βρήκες.

Ηθικό Δίδαγμα: Στα Μαθηματικά οι αριθμοί που μπαίνουν στις ασκήσεις δεν είναι ποτέ τυχαίοι, όπως μας έδειξε με το παράδειγμά του ο κ. Μιχάλης

gberdmath · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 02, 2018 4:40 pm

gberdmath έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 02, 2018 3:10 pm
Μια προφανης και πολυ ευκολη λυση για ολους συμφωνα με την διατυπωση της ασκησης ειναι η a=0,b=0,c=0,d=0 οπως εχει ηδη βρει ο Αχιλλεας
Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Μην ξεχνάς ότι στα ελληνικά οι λέξεις τονίζονται. Άλλωστε το τελευταίο είναι μέρος των κανονισμών μας (τους διάβασες;), οπότε πρέπει και για έναν ακόμη λόγο να γράφουμε σωστά ελληνικά.

Κάτι ακόμα. Η λύση του Αχιλλέα δεν είναι αυτή που λες. Η παρέμβασή του ήταν για να επισημάνει ότι υπάρχει και άλλη απλή λύση (προφανώς γνωρίζει περισσότερες). Από κει και πέρα τα ποστ που ακολούθησαν ήταν για να επισημάνουν το γεγονός ότι υπάρχουν άπειρες ακέραιες λύσεις
που μπορούν εύκολα να καταγραφούν. Αυτές που έγραψα, περιλαμβάνουν την λύση του Αχιλλέα.

Συγγνώμη κύριε Μιχάλη είμαι καινούριος και δεν έχω συνηθήσει ακόμη.Δεν θα επαναληφθεί

Πέρα από το Δεκαδικό

Πέρα από το Δεκαδικό

Re: Πέρα από το Δεκαδικό

Re: Πέρα από το Δεκαδικό

Re: Πέρα από το Δεκαδικό

Re: Πέρα από το Δεκαδικό

Re: Πέρα από το Δεκαδικό

Re: Πέρα από το Δεκαδικό

Re: Πέρα από το Δεκαδικό

Re: Πέρα από το Δεκαδικό

Re: Πέρα από το Δεκαδικό

Re: Πέρα από το Δεκαδικό

Re: Πέρα από το Δεκαδικό

Μέλη σε σύνδεση