Από GM !

Ορέστης Λιγνός · #1

Έστω οι θετικοί a,b,c

, που είναι τέτοιοι ώστε ab+bc+ca=1

.

Να δείξετε ότι $\displaystyle\frac{1-a^2}{1+a^2}+\frac{1-b^2}{1+b^2} +\frac{1-c^2}{1+c^2}\leq \frac{3}{2}$ .

Ορέστης Λιγνός · #2

Να το προχωρήσουμε λίγο ακόμα ;

Αν ακόμη σας δίνεται ότι a+b+c=3

, αποδείξτε ότι εν τέλει $\displaystyle\frac{1-a^2}{1+a^2}+\frac{1-b^2}{1+b^2} +\frac{1-c^2}{1+c^2}\leq 0.$

edit : η άσκηση είναι λάθος. Δείτε την ανάρτηση του dement αμέσως μετά.

dement · #3

orestis26 έγραψε:Έστω οι θετικοί , που είναι τέτοιοι ώστε .

Να δείξετε ότι $\displaystyle\frac{1-a^2}{1+a^2}+\frac{1-b^2}{1+b^2} +\frac{1-c^2}{1+c^2}\leq \frac{3}{2}$ .

Έστω $a = \tan A, b = \tan B, c = \tan C$ με $A \geq B \geq C, A, B, C \in (0, \pi / 2)$ . Τότε η συνθήκη γίνεται $A + B + C = \pi / 2$ ενώ η παράσταση προς μεγιστοποίηση $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C$ .

Λόγω κοιλότητας του $\cos x$ στο $(0, \pi/2)$ έχουμε

$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C \leq - \cos (2B + 2C) + 2 \cos (B+C) =$

$= - 2 \cos^2 (B+C) + 2 \cos(B+C) +1$ που μεγιστοποιείται για $\cos(B+C) = 1/2$ με τιμή 3/2

.

Ορέστης Λιγνός · #4

Η λύση που έχω εγώ είναι με βασικές ανισότητες. Η δικιά σας όμως είναι εκπληκτική!

Ορέστης Λιγνός · #5

Κύριε Σκουτέρη άλλαξα την δεύτερη εκφώνηση. Τι λέτε τώρα ;

dement · #6

Όχι, ούτε τώρα είναι εντάξει $\displaystyle (a = b = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}, c = 1 + \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ . Προσπάθησε να είσαι προσεκτικός, κάποιος μπορεί να φάει ώρες για να αποδείξει κάτι που δεν ισχύει τελικά.

Ορέστης Λιγνός · #7

Ναι έχετε δίκιο . Ξεχάστε λοιπόν το δεύτερο ερώτημα.

#8

orestis26 έγραψε:Ναι έχετε δίκιο . Ξεχάστε λοιπόν το δεύτερο ερώτημα.

Ορέστη, το σωστό είναι αυτό να δηλωθεί στο δεύτερο ερώτημα. Κάποιοι μπορεί να το δουν και να προσπαθήσουν να το λύσουν πριν να διαβάσουν την ανάρτηση του Δημήτρη ότι είναι λανθασμένο.

Κάνε λοιπόν επεξεργασία στην δεύτερή σου ανάρτηση και πρόσθεσε μια γραμμή που να λέει κάτι του στυλ "Αγνοήστε το ερώτημα μιας και είναι λανθασμένο. Δείτε την ανάρτηση του dement πιο κάτω".

Joaakim · #9

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 10, 2016 5:24 pm
Έστω οι θετικοί , που είναι τέτοιοι ώστε .

Να δείξετε ότι $\displaystyle\frac{1-a^2}{1+a^2}+\frac{1-b^2}{1+b^2} +\frac{1-c^2}{1+c^2}\leq \frac{3}{2}$ .

Παραθέτω και μία λύση χωρίς τριγωνομετρία.

Παρατηρούμε ότι: $\displaystyle \frac{1-a^{2}}{1+a^{2}}=\frac{(1+a^{2})-2a^{2}}{1+a^{2}}=1-\frac{2a^{2}}{a^{2}+1}$ .

Έτσι αρκεί: $\displaystyle \sum{\frac{2a^{2}}{a^{2}+1}} \geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2} \Rightarrow \sum{\frac{a^{2}}{a^{2}+1} \geq \frac{3}{4}$ .

Από την ανισότητα Andrescu είναι όμως:

$\displaystyle \sum{\frac{a^{2}}{a^{2}+1} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}=$

$\displaystyle =\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}=\frac{x+2}{x+3}$ ,

όπου $x=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ .

Αρκεί τώρα: $\displaystyle \frac{x+2}{x+3} \geq \frac{3}{4} \Rightarrow 4x+8 \geq 3x+9 \Rightarrow x \geq 1 \Rightarrow$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq ab+bc+ca$ ,

που προφανώς ισχύει, κι έτσι τελειώσαμε.

Από GM !

Από GM !

Re: Από GM !

Re: Από GM !

Re: Από GM !

Re: Από GM !

Re: Από GM !

Re: Από GM !

Re: Από GM !

Re: Από GM !

Μέλη σε σύνδεση