Μία απλή!

Ορέστης Λιγνός · #1

Αν

θετικοί και xyz=x+y+z+2

, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης K=x^2+y^2+z^2

Nick Math · #2

orestis26 έγραψε:Αν θετικοί και , να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης

Από AM-GM :
$(\frac{x+y+z}{3})^{3}≥xyz=x+y+z+2$ (1)

$x^{2}+y^{2}+z^{2}≥3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}$ (2)

. Αφού ζητάμε την μικρότερη δυνατή τιμή της

, θα πρέπει να πάρουμε την ισότητα στην (2)

και στην

. Γνωρίζουμε όμως ότι στις ανισότητες του αριθμητικού γεωμετρικού μέσου όταν ισχύει η ισότητα έπεται ότι οι αριθμοί είναι ίσοι μεταξύ τους. Επομένως, η (1)

γίνεται:
$x^{3}-3x-2=0$ ή x=2

(παίρνουμε μόνο την θετική). Αντικαθιστούμε στην (2)

και παίρνουμε ότι η ελάχιστη τιμή της

είναι

.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #3

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 11, 2016 10:06 pm
Αν θετικοί και , να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης

Από την ανισότητα Cauchy(AM-GM)

έχουμε
$(x+y+z)^{3}\geqslant 27xyz=27(x+y+z+2)$
Θέτουμε x+y+z=S

.Τοτε η ανισότητα γίνεται:
$S^{3}\geqslant 27(S+2)\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow S\geqslant 6\Leftrightarrow x+y+z\geqslant 6$
Οπότε $3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geqslant (x+y+z)^{2}\geqslant 6^{2}=36\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant 12$
Δηλαδή $K_{min}=12$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 11, 2016 10:06 pm
Αν θετικοί και , να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης

Και να αποδειχθεί ότι δεν παίρνει μέγιστη τιμή το

#5

Είναι $\displaystyle{ xyz=x+y+z+2 \iff \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1}$ οπότε υπάρχουν a,b,c

με $\displaystyle{x=\frac{b+c}{a}, \ y=\frac{a+c}{b}, \ z=\frac{a+b}{c}.}$

Έχουμε,
$\displaystyle{x+y+z=(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})\geq 2+2+2=6}$

Επομένως,
$\displaystyle{3K\geq (x+y+z)^2\geq 36}$

Για b=c=1

και $a\to \infty$ είναι

$\displaystyle{K=\frac{4}{a^2}+2(a+1)^2\to \infty \ ...}$

Μία απλή!

Μία απλή!

Re: Μία απλή!

Re: Μία απλή!

Re: Μία απλή!

Re: Μία απλή!

Μέλη σε σύνδεση