Από Ρουμανία!

Ορέστης Λιγνός · #1

Έστω οι θετικοί αριθμοί a,b,c

με

.

Να δείξετε ότι : $\sum{\displaystyle\frac{1}{2+a}}\leq 1$

#2

orestis26 έγραψε:Έστω οι θετικοί αριθμοί με .

Να δείξετε ότι : $\sum{\displaystyle\frac{1}{2+a}}\leq 1$

Γεια σου Ορέστη.

Θέτουμε $\displaystyle{a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}}$ , $\displaystyle {\frac{1}{2+a}=\frac{y}{x+2y}}$

αρκεί να δείξουμε: $\displaystyle {\frac{x}{z+2x}+\frac{y}{x+2y}+\frac{z}{y+2z}\leq 1\iff}$ $\displaystyle {\frac{2x}{z+2x}+\frac{2y}{x+2y}+\frac{2z}{y+2z}\leq 2\iff}$

$\displaystyle {\frac{z}{z+2x}+\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{y+2z}\geq 1}$

όμως $\displaystyle {\frac{z}{z+2x}+\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{y+2z}=\frac{z^2}{z^2+2xz}+\frac{x^2}{x^2+2xy}+\frac{y^2}{y^2+2yz}\geq \frac{(x+y+z)^2}{z^2+2xz+x^2+2xy+y^2+2yz}=1}$

Joaakim · #3

Υπάρχει και πιο απλή λύση.

Εκτελώντας τις πράξεις είναι:

$\displaystyle (a+2)(b+2)(c+2) \geq \sum{[(a+2)(b+2)]} \Rightarrow (ab+2a+2b+4)(c+2) \geq \sum{(ab+2a+2b+4)} \Rightarrow$

$\displaystyle \Rightarrow abc+2ac+2bc+4c+2ab+4a+4b+8 \geq \sum{(ab+2a+2b+4)} \Rightarrow$

$\Rightarrow 2ab+2bc+2ca+4a+4b+4c+9 \geq ab+bc+ca+4a+4b+4c+12 \Rightarrow ab+bc+ca \geq 3$ .

Από AM-GM εύκολα όμως: $ab+bc+ca \geq 3\sqrt[3]{ab \cdot bc \cdot ca}=3 \sqrt[3]{(abc)^{2}}=3 \sqrt[3]{1^{2}}=3$ ,

και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Από Ρουμανία!

Από Ρουμανία!

Re: Από Ρουμανία!

Re: Από Ρουμανία!

Μέλη σε σύνδεση