Χαριτωμένη!

Ορέστης Λιγνός · #1

Αν

θετικοί , να δείξετε ότι : $\sum{\displaystyle\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}\geq\displaystyle\frac{3}{4}$

harrisp · #2

orestis26 έγραψε:Αν θετικοί , να δείξετε ότι : $\sum{\displaystyle\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}\geq\displaystyle\frac{3}{4}$

Κάνουμε τις πράξεις (

πολλές) και φτάνουμε στο:

$\sum{(a^2b+ab^2)}-(2abc+2abc+2abc)\geq0$

Παραγοντοποιούμε:

$\sum{a(b-c)^2}\geq0$ που ισχύει.

Η ισότητα ισχύει για α=β=γ

Ορέστης Λιγνός · #3

Οι πράξεις αν τις κάνεις είναι όντως πολλές!

Ορέστης Λιγνός · #4

Οι πράξεις αν τις κάνεις είναι όντως πολλές!

Χάρη , η άσκηση απαντήθηκε μέσα σε

λεπτά . Άρα , επί

λεπτά έκανες πράξεις!(

)

(Αυτό ήταν προειδοποίηση για όσους θελήσουν να κάνουν τις πράξεις!)

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #5

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 12, 2016 3:57 pm
Αν θετικοί , να δείξετε ότι : $\sum{\displaystyle\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}\geq\displaystyle\frac{3}{4}$

Μετά από 4 χρόνια ας την δούμε και χωρίς πράξεις

Θέτω $\rm a=\dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y},c=\dfrac{1}{z}$ οπότε γίνεται $\displaystyle {\rm \sum \dfrac{z^2}{(z+x)(x+y)}\geq \dfrac{3}{4}}$ .
Από $\rm Andreesqu$ αρκεί $\displaystyle {\rm \dfrac{\left ( x+y+z \right )^2}{\displaystyle x^2+y^2+x^2+3\sum xy}\geq \dfrac{3}{4}\Leftrightarrow 4\sum x^2+8\sum xy\geq 3\sum x^2+9\sum xy\Leftrightarrow \sum x^2\geq \sum xy}$
που ισχύει.

#6

Ας το δούμε και αλλιώς, με τον κλασικό μετασχηματισμό

$\displaystyle{x=\frac{a}{b+c},y=\frac{b}{c+a}, z=\frac{c}{a+b}.}$

Τότε θέλουμε να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{xy+yz+zx\geq \frac{3}{4},}$

όταν $\displaystyle{x,y,z>0}$ και $\displaystyle{xy+yz+zx+2xyz=1.}$

Θέλουμε δηλαδή $\displaystyle{xyz\leq \frac{1}{8}.}$

Γυρνώντας πίσω στα $\displaystyle{a,b,c}$ θέλουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle{(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc,}$

το οποίο είναι άμεσο από ΑΜ-ΓΜ στα ζευγάρια.

Χαριτωμένη!

Χαριτωμένη!

Re: Χαριτωμένη!

Re: Χαριτωμένη!

Re: Χαριτωμένη!

Re: Χαριτωμένη!

Re: Χαριτωμένη!

Μέλη σε σύνδεση