Καλούτσικη ανισότητα
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Καλούτσικη ανισότητα
Οι πραγματικοί αριθμοί ικανοποιούν τις σχέσεις
Να αποδείξετε, ότι
.
Να αποδείξετε, ότι
.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Τρί Σεπ 27, 2016 8:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Καλούτσικη ανισότητα
Επαναφορά.
Κατά την γνώμη μου δεν είναι καλούτσικη αλλά πολύ καλή.
Η σταθερά είναι η καλύτερη δυνατή.
Κατά την γνώμη μου δεν είναι καλούτσικη αλλά πολύ καλή.
Η σταθερά είναι η καλύτερη δυνατή.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Καλούτσικη ανισότητα
Την είχα λύσει αλλά αμέλησα να αναρτήσω την λύση μου.
Αν κάποιο από τα ισούται με τότε το αποτέλεσμα είναι άμεσο. Ομοίως και αν περιττός αριθμός από τα είναι αρνητικά. Οπότε είτε έχουμε δύο αρνητικά και τέσσερα θετικά είτε το αντίστροφο. Επειδή όμως οι δοσμένες συνθήκες δεν αλλάζουν αν πολλαπλασιάσουμε κάθε με μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι
και
Θέτω και για .
Οι συνθήκες γίνονται
και
Από την δεύτερη συνθήκη έχουμε ότι ή . (*)
Στην πρώτη περίπτωση παίρνουμε
ενώ στην δεύτερη
Άρα ούτως ή άλλως έχουμε .
Όμως και
Άρα και και το ζητούμενο έπεται.
[Η ισότητα λαμβάνεται π.χ. για και . Επιπλέον δεν είναι δύσκολο με όσα έχουμε κάνει να βρεθούν όλες οι περιπτώσεις της ισότητας.]
(*) Πως σκεφτήκαμε να το χωρίσουμε έτσι; Από τις και καταλήγουμε στο ότι είναι αρκετό να δειχθεί ότι .
Επειδή , αν τότε τελειώσαμε. Αναλόγως αν πάλι τελειώσαμε. Όμως το ένα από τα δύο σίγουρα ισχύει οπότε είμαστε εντάξει.
Αν κάποιο από τα ισούται με τότε το αποτέλεσμα είναι άμεσο. Ομοίως και αν περιττός αριθμός από τα είναι αρνητικά. Οπότε είτε έχουμε δύο αρνητικά και τέσσερα θετικά είτε το αντίστροφο. Επειδή όμως οι δοσμένες συνθήκες δεν αλλάζουν αν πολλαπλασιάσουμε κάθε με μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι
και
Θέτω και για .
Οι συνθήκες γίνονται
και
Από την δεύτερη συνθήκη έχουμε ότι ή . (*)
Στην πρώτη περίπτωση παίρνουμε
ενώ στην δεύτερη
Άρα ούτως ή άλλως έχουμε .
Όμως και
Άρα και και το ζητούμενο έπεται.
[Η ισότητα λαμβάνεται π.χ. για και . Επιπλέον δεν είναι δύσκολο με όσα έχουμε κάνει να βρεθούν όλες οι περιπτώσεις της ισότητας.]
(*) Πως σκεφτήκαμε να το χωρίσουμε έτσι; Από τις και καταλήγουμε στο ότι είναι αρκετό να δειχθεί ότι .
Επειδή , αν τότε τελειώσαμε. Αναλόγως αν πάλι τελειώσαμε. Όμως το ένα από τα δύο σίγουρα ισχύει οπότε είμαστε εντάξει.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Καλούτσικη ανισότητα
Μετά την αναλυτική και ωραία λύση του Δημήτρη νομίζω
ότι αξίζει τον κόπο να βρεθεί και το βέλτιστο κάτω φράγμα.
ότι αξίζει τον κόπο να βρεθεί και το βέλτιστο κάτω φράγμα.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Καλούτσικη ανισότητα
Καλημέρα,ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Μετά την αναλυτική και ωραία λύση του Δημήτρη νομίζω
ότι αξίζει τον κόπο να βρεθεί και το βέλτιστο κάτω φράγμα.
Μιας και άνοιξε τον δρόμο ο κ.Δημήτρης...
Για να βρούμε την ελάχιστη τιμή του γινομένου των έξι αριθμών, αφού εύκολα παρατηρούμε οτι μπορεί να πάρει και αρνητικές τιμές, αρκεί να το μεγιστοποιήσουμε κατά απόλυτη τιμή. Για να είναι αρνητικό το γινόμενο θα πρέπει το πλήθος των αρνητικών παραγόντων να είναι περιττό. Δηλαδή είτε 3 θετικοί και 3 αρνητικοί είτε 1 θετικός και 5 αρνητικοί (καθώς και το αντίστροφο).
Στην πρώτη περίπτωση, χωρίς βλάβη της γενικότητας, η συνθήκη μπορεί να γραφεί
, όπου οι αριθμοί που αντιστοιχούν στους αρνητικούς και από τις ανισότητες γεωμετρικού, αριθμητικού, τετραγωνικού μέσου θα έχουμε
Προσθέτοντας κατά μέλη τα δεύτερα σκέλη των παραπάνω σχέσεων για το προκύπτει
Τώρα από την ανισότητα γεωμετρικού-αριθμητικού μέσου θα έχουμε
και
, πολλαπλιασιάζοντας κατα μέλη βρίσκουμε
Mε την ισότητα να επιτυγχάνεται όταν δηλαδή όταν οι θετικοι αριθμοί είναι ίσοι με και οι αρνητικοί ίσοι με .
Εργαζόμενοι ανάλογα στην περίπτωση που ένας από τους αριθμούς είναι θετικός και οι άλλοι αρνητικοί έχουμε
Προσθέτοντας κατά μέλη
, οπότε και
, πολλαλαπλιασιάζοντας κατά μέλη έχουμε
Οπότε παρατηρούμε ότι το βέλτιστο κάτω φράγμα επιτυγχάνεται στην πρώτη περίπτωση με τρεις θετικούς και τρεις αρνητικούς αριθμούς.
Υγ. Για την ιστορία το πρόβλημα είναι το υπ' αριθμόν 4896 του ρώσικου περιοδικού "Μαθηματικά στο Σχολείο" τεύχος 5, 2006.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες