Τέλειο τετράγωνο!
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Τέλειο τετράγωνο!
Για ποιους φυσικούς αριθμούς , ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο ;
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Τέλειο τετράγωνο!
Γεια σου Ορέστη!
Λοιπόν για δεν έχουμε λύσεις. Εστω τώρα . Είναι:
. Συνεπώς για να είναι το τέλειο τετράγωνο πρέπει το τέλειο τετραγωνο.
Δηλαδή:
. Για δεν έχουμε λύσεις. Εστω τώρα . Εχουμε:
. Αρα . Εχουμε:
. Για δεν έχουμε λύσεις και μετά με δοκιμές εύκολα παίρνουμε ότι ή ή .
Μοναδική τιμή λοιπόν
Λοιπόν για δεν έχουμε λύσεις. Εστω τώρα . Είναι:
. Συνεπώς για να είναι το τέλειο τετράγωνο πρέπει το τέλειο τετραγωνο.
Δηλαδή:
. Για δεν έχουμε λύσεις. Εστω τώρα . Εχουμε:
. Αρα . Εχουμε:
. Για δεν έχουμε λύσεις και μετά με δοκιμές εύκολα παίρνουμε ότι ή ή .
Μοναδική τιμή λοιπόν
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Τέλειο τετράγωνο!
Με το χέρι ελέγχουμε τις τιμές Οι αντίστοιχες τιμές του είναι οι
Από αυτές
οι λήγουν σε "απαγορευμένο" ψηφίο.
οι λήγουν σε ένα μηδέν, άρα διαιρούνται από το , αλλά όχι από το
ο διαιρείται από το , αλλά όχι από το
ο διαιρείται από το , αλλά όχι από το
ο
Ας είναι τώρα Τότε
Επομένως ο αριθμός αυτός είναι τέλειο τετράγωνο μόνο όταν το ίδιο συμβαίνει για τον δηλαδή μόνο αν υπάρχει θετικός ακέραιος ώστε
Για να συμβαίνει αυτό πρέπει να υπάρχουν φυσικοί με ώστε
Από αυτές βρίσκουμε Αν το αριστερό μέλος είναι πολλαπλάσιο του , ενώ το δεξί όχι. Άρα ( το μηδε΄ν απορρίπτεται εύκολα).
Τότε προκύπτει και τελικά
Πράγματι,
Από αυτές
οι λήγουν σε "απαγορευμένο" ψηφίο.
οι λήγουν σε ένα μηδέν, άρα διαιρούνται από το , αλλά όχι από το
ο διαιρείται από το , αλλά όχι από το
ο διαιρείται από το , αλλά όχι από το
ο
Ας είναι τώρα Τότε
Επομένως ο αριθμός αυτός είναι τέλειο τετράγωνο μόνο όταν το ίδιο συμβαίνει για τον δηλαδή μόνο αν υπάρχει θετικός ακέραιος ώστε
Για να συμβαίνει αυτό πρέπει να υπάρχουν φυσικοί με ώστε
Από αυτές βρίσκουμε Αν το αριστερό μέλος είναι πολλαπλάσιο του , ενώ το δεξί όχι. Άρα ( το μηδε΄ν απορρίπτεται εύκολα).
Τότε προκύπτει και τελικά
Πράγματι,
Μάγκος Θάνος
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Τέλειο τετράγωνο!
Πρέπει να ισχύει ότι:
Άρα:
και , επομένως , συνεπώς προκύπτει εύκολα ότι και επίσης αναγκαστικά , γιατί αν ήταν παραπάνω, η διαφορά θα ήταν μεγαλύτερη του . Άρα , και . Άρα .
Άρα:
και , επομένως , συνεπώς προκύπτει εύκολα ότι και επίσης αναγκαστικά , γιατί αν ήταν παραπάνω, η διαφορά θα ήταν μεγαλύτερη του . Άρα , και . Άρα .
Houston, we have a problem!
Re: Τέλειο τετράγωνο!
Μία παρόμοια άσκηση είναι η ακόλουθη από τον Αρχιμήδη Νέων 2007-2008.
viewtopic.php?f=109&t=17945
viewtopic.php?f=109&t=17945
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες