n+2,n^2+n+1 τέλειοι κύβοι

Broly · #1

Έστω n φυσικός αριθμός.Αποδείξτε ότι οι αριθμοί n+2

και

δεν μπορούν να είναι και οι δυο τέλειοι κύβοι για οποιαδήποτε επιλογή του

#2

Ας υποθέσουμε ότι n^2+n+1=k^3

και

, όπου

ακέραιοι αριθμοί.

Τότε λύνοντας τη δεύτερη ως προς

και αντικαθιστώντας στην πρώτη παίρνουμε τελικά

l^3(l^3-1)=k^3-3

.

Κοιτάμε την εξίσωση mod7

άρα αν έχει κάποια λύση ως προς k,l

θα πρέπει $l^3(l^3-1)\equiv k^3-3\pmod{7} \ \ (1)$ . Όμως τα κυβικά υπόλοιπα mod7

είναι $0,\pm 1$ συνεπώς παίρνοντας περιπτώσεις για τα $k^3,l^3\equiv 0,\pm 1\pmod{7}$ καταλήγουμε σε άτοπο διότι δεν ισχύει η (1)

.

Νομίζω ότι ο

μπορεί να είναι ακέραιος αριθμός και όχι μόνο φυσικός.

Αλέξανδρος

Broly · #3

Αλέξανδρε,ωραία η λύση σου.Προσθέτω μία ακόμη λύση που νομίζω θα σου αρέσει:

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι υπάρχει

ακέραιος τέτοιο ώστε είναι και τα δυο τέλειοι κύβοι.
Τότε όμως και το γινόμενο τους θα ήταν τέλειος κύβος:

(n+2)(n^2+n+1)=n^3+3n^2+3n+2

.

Όμως: (n+1)^3<n^3+3n^2+3n+2<(n+2)^3

. άτοπο

#4

Πράγματι πολύ ωραία απόδειξη Κώστα! Εύγε...

Αλέξανδρος