Εύρεση Φυσικών

kostas136 · #1

Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί x, y

οι οποίοι επαληθεύουν την σχέση: $x!+14=y^{4}$

ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #2

καλημερα στον Κώστα σε ολα τα μέλη του

.
Με μια γρήγορη διερευνηση κατέληξα στο x=2 , y =2 και μόνο.
...............ειδικότερα.............
[ Για x > 4 το x! + 14 έχει ώς τελευταίο του ψηφίο το 4 το οποίο δεν είναι τελευταίο ψηφίο καμίας τέταρτης δύναμης φυσικού . Άρα x = 0 ή 1 ή 2 ή 3 ή 4 .Και από αυτές μόνο το 2 είναι δεκτό.]

#3

Το δεύτερο μέλος είναι δύναμη του

άρα το τελευταίο ψηφίο του θα είναι 0,1,5,6

. Όμως αν $x\geq 5$ το

λήγει σε μηδέν, άρα το $\displaystyle{x! +14}$ σε

. Αποκλείεται, λοιπόν, να είναι $x\geq 5$ . Ελέγχουμε τώρα τις τιμές x=0,1,2,3,4

και βλέπουμε πως η μόνη δυνατή περίπτωση είναι $\displaystyle{(x,y)=(2,2).}$

kostas136 · #4

Θαυμάσια, σας ευχαριστώ για την ενασχόληση. Την εμπνεύστηκα διαβάζοντας μια πολύ ωραία άσκηση που έχει ο κ. Στεργίου στο βιβλίο του "Ολυμπιάδες Μαθηματικών-Β Γυμνασίου": βρείτε τους φυσικούς x, y

ώστε $x!+12=y^{2}$ , Ρουμανία - 2000.

gberdmath · #5

Εύκολα λαμβάνουμε ότι $\chi \neq 5$ γιατί το $\chi!$ θα λήγει σε μηδέν. Άρα παίρνουμε τις δυνάτες τιμές του $\chi$ και ικανοποιούν την δοθείσα εξίσωση. Έτσι έχουμε $\chi = 0,1,2,3,4$ απο τις οποίες λαμβάνουμε μόνο την περίπτωση $\chi = 2$

Εύρεση Φυσικών

Εύρεση Φυσικών

Re: Εύρεση Φυσικών

Re: Εύρεση Φυσικών

Re: Εύρεση Φυσικών

Re: Εύρεση Φυσικών

Μέλη σε σύνδεση