παράσταση-συμφορά!

#1

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{\displaystyle \sqrt {111.......1 - 222.......2} }$ , αν ο αριθμός 111....1 έχει 2ν ψηφία και ο αριθμός 222....2 έχει ν ψηφία.

giannisn1990 · #2

Έχουμε
$\displaystyle 111...11=1+10+10^{2}+..+10^{2n-1}=\frac{10^{2n}-1}{9}$ και
$\displaystyle 222...22=2(1+10+10^{2}+..+10^{n-1})=\frac{2(10^{n}-1)}{9}$
Έτσι έχουμε
$\displaystyle \sqrt {111...1-222..22}=\sqrt {\frac{10^{2n}-1}{9}-\frac{2(10^{n}-1)}{9}}=\sqrt {\frac{10^{2n}-2\cdot 10^{n}+1}{9}}=\sqrt{\frac{(10^{n}-1)^{2}}{9}}=\frac{10^{n}-1}{3}$

#3

καλησπέρα,ελπίζω να μην έχασα κάτι στο δρόμο

$\underbrace{111...1}_{2n}-\underbrace{222...2}_{n}=\underbrace{11...1}_{n}\underbrace{00...0}_{n}-\underbrace{11...1}_{n}=\underbrace{11...1}_{n}(1\underbrace{0...0}_{n}-1)$

$=\underbrace{11...1}_{n}(10^{n}-1)=9[(10^{n-1}+10^{n-2}+\dots+1)]^2=[3(\underbrace{11...1}_{n})]^2$
άρα
$\sqrt{\underbrace{11...1}_{2n}-\underbrace{22...2}_{n}}=\underbrace{33...3}_{n}$

#4

$\sqrt{\underbrace{11\ldots1}_{2n}-\underbrace{22\ldots2}_{n}}=\sqrt{10^{2n-1}+\ldots+10+1-(2\cdot10^{n-1}+2\cdot10+2)}=\sqrt{\frac{10^{2n}-1}{10-1}-2\frac{10^{n}-1}{10-1}}=\sqrt{\frac{10^{2n}-1-2\cdot10^{n}+2}{9}}=\sqrt{\frac{10^{2n}-2\cdot10^{n}+1}{9}}=\sqrt{\frac{(10^{n}-1)^{2}}{3^{2}}}=\frac{10^{n}-1}{3}=\\=\frac{1}{3}(10-1)(10^{n-1}+\ldots+1)=\frac{1}{3}9\cdot\underbrace{11\ldots1}_{n}=\underbrace{33\ldots3}_{n}$

Πρόλαβα....;
Υ.Γ. χρήστο μήπως μπορείς να ανεβάσεις καμμιά άσκηση να λύσουμε....;

#5

δεν πρόλαβα...

παράσταση-συμφορά!

παράσταση-συμφορά!

Re: παράσταση-συμφορά!

Re: παράσταση-συμφορά!

Re: παράσταση-συμφορά!

Re: παράσταση-συμφορά!

Μέλη σε σύνδεση