Αντιπαράδειγμα

BAGGP93 · #1

Ορισμός : Ένας μετρικός χώρος $\displaystyle{(X,\rho)}$ λέγεται γεωδαισιακός, αν για κάθε $\displaystyle{x\,,y\in X}$ υπάρχουν

$\displaystyle{d>0}$ και απεικόνιση $\displaystyle{\gamma:\left[0,d\right]\to X}$ με $\displaystyle{\gamma(0)=x\,,\gamma(d)=y}$

και $\displaystyle{\rho(\gamma(t),\gamma(t'))=|t-t'|\,,\forall\,t\,,t'\in \left[0,d\right]}$ .

Να αποδείξετε ότι το $\displaystyle{\mathbb{R}^2\setminus \left\{(0,0)\right\}}$ με την επαγόμενη μετρική του $\displaystyle{\mathbb{R}^2}$

δεν είναι γεωδαισιακός μετρικός χώρος.

dement · #2

Έστω

. Τότε, για γεωδαισιακή καμπύλη $\gamma$ , ισχύει $\rho (\gamma(t''), \gamma(t)) = t'' - t = (t'' - t') + (t' - t) = \rho (\gamma(t''), \gamma(t')) + \rho (\gamma(t'), \gamma(t))$ . Έτσι, στην περίπτωση των Ευκλείδειων χώρων, το $\gamma(t')$ πρέπει να βρίσκεται ανάμεσα στα $\gamma(t), \gamma(t'')$ και η καμπύλη πρέπει να είναι ευθεία. Kάθε ζεύγος σημείων x, y

πρέπει λοιπόν να συνδέεται με ευθύγραμμο τμήμα, κάθε σημείο του οποίου ανήκει στο χώρο.

Στην περίπτωσή μας τα (1,0), (-1,0)

προφανώς δεν πληρούν τη συνθήκη (αφού το (0,0)

δεν ανήκει στο χώρο) και ο χώρος δεν είναι γεωδαισιακός.

Αντιπαράδειγμα

Αντιπαράδειγμα

Re: Αντιπαράδειγμα

Μέλη σε σύνδεση