Υπάρχει χάρτης ;

BAGGP93 · #1

Θεωρούμε το σύνολο $\displaystyle{X=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,,x\,y=0\right\}}$ με την επαγόμενη μετρική. Να δείξετε ότι δεν υπάρχει

χάρτης γύρω από το $\displaystyle{p=(0,0)\in X}$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Εστω ότι υπάρχει.
Δηλαδή υπάρχει

ανοικτό που περιέχει το (0,0)

και $f:U\cap X\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής και 1-1(μόνο αυτά χρειάζομαι)

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι U=B((0,0),a)

με

Το $f(X\cap U)$ είναι ανοικτό διάστημα του $\mathbb{R}$

Το $f(U\cap X-(0,0))$ θα είναι ένωση δύο ξένων ανοικτών διαστημάτων.

Γιατί το $f(U\cap X-(0,0))$ ισούται με $f(U\cap X)-f((0,0))$

Αλλά $U\cap X-(0,0)=A\cup B\cup G\cup D$

όπου τα A,B,G.D

είναι τέσσερα ξένα ανοικτά διαστήματα.

Αρα το $f(U\cap X-(0,0))$ είναι ένωση τεσσάρων ξένων ανοικτών διαστημάτων ΑΤΟΠΟ.

Υπάρχει χάρτης ;

Υπάρχει χάρτης ;

Re: Υπάρχει χάρτης ;

Μέλη σε σύνδεση