Παράλληλες καμπύλες

#1

Έστω $\overrightarrow{\alpha}:[0,L]\subset{\mathbb{R}}\longrightarrow{\mathbb{R}}^2\,;\; s\longmapsto\overrightarrow{\alpha}(s)$ μια κλειστή, κυρτή, θετικά προσανατολισμένη, λεία παραμετρική καμπύλη με την

να είναι παράμετρος μήκους τόξου. Θεωρούμε την "παράλληλη" καμπύλη $\overrightarrow{\gamma}:[0,L]\subset{\mathbb{R}}\longrightarrow{\mathbb{R}}^2$ με τύπο
$\overrightarrow{\gamma}(s)=\overrightarrow{\alpha}(s)-\lambda \overrightarrow{N}(s)\,,$
όπου $\lambda$ θετικός σταθερός αριθμός και $\overrightarrow{N}$ το πρώτο κάθετο της $\overrightarrow{\alpha}$ .
Να αποδειχθούν τα εξής:

$L_{\gamma}=L+2\pi\lambda\,,$
όπου $L_{\gamma}$ το μήκος της καμπύλης $\gamma$ .
$\kappa_{\gamma}(s)=\dfrac{\kappa_{\alpha}(s)}{1+\lambda\kappa_{\alpha}(s)}\,,$
όπου $\kappa_{\gamma}(s)$ και $\kappa_{\alpha}(s)$ οι αντίστοιχες καμπυλότητες των $\gamma$ και $\alpha$ .
$A(\Omega_{\gamma})=A(\Omega_{\alpha})+\lambda L+\lambda^2\pi\,,$
όπου $A(\Omega_{\gamma})$ και $A(\Omega_{\alpha})$ τα εμβαδά που περικλείουν οι $\gamma$ και $\alpha$ αντίστοιχα.

#2

Δίνουμε και μια λύση, αφού δεν έχει απαντηθεί:

Επειδή για την $\overrightarrow{\alpha}$ η

είναι παράμετρος μήκους τόξου, ισχύει $L_{\alpha}=L$ . Επειδή η $\overrightarrow{\alpha}$ είναι θετικά προσανατολισμένη, το $\overrightarrow{N}$ "βλέπει" προς το εσωτερικό της $\overrightarrow{\alpha}$ . Επομένως η "παράλληλή" της $\gamma$ βρίσκεται στο εξωτερικό της $\alpha$ σε "απόσταση" $\lambda$ .

: paracurves.png (56.64 KiB) Προβλήθηκε 2325 φορές

Σημείωση: Για την απόδειξη των τύπων θα θεωρήσουμε, χωρίς να υπάρχει πρόβλημα, ότι οι καμπύλες $\alpha$ και $\gamma$ βρίσκονται στον ${\mathbb{R}}^3$ και συγκεκριμένα στο επίπεδο z=0

. Υπολογίζουμε

$\begin{aligned} \overrightarrow{\gamma}'(s)&=\overset{\boldsymbol{\cdot}}{\overrightarrow{\alpha}}(s)-\lambda \overset{\boldsymbol{\cdot}}{\overrightarrow{N}}(s)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\overrightarrow{T}(s)+\lambda\,\kappa_{\alpha}(s)\,\overrightarrow{T}(s)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=(1+\lambda\,\kappa_{\alpha}(s))\,\overrightarrow{T}(s)\,,\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \big|{\overrightarrow{\gamma}'(s)}\big|&=\big|1+\lambda\,\kappa_{\alpha}(s)\big|\,\cancelto{1}{\big|{\overrightarrow{T}(s)}\big|}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &\stackrel{\kappa_{\alpha}>0,\lambda>0}{=\!=\!=\!=\!=}1+\lambda\,\kappa_{\alpha}(s)\,. \end{aligned}$

$\begin{aligned} L_{\gamma}&=\int_{0}^{L}\big|{\overrightarrow{\gamma}'(s)}\big|\,ds\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\int_{0}^{L}1+\lambda\,\kappa_{\alpha}(s)\,ds\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\int_{0}^{L}ds+\lambda\int_{0}^{L}\kappa_{\alpha}(s)\,ds\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &\stackrel{(\star)}{=} L+\lambda\cdot2\pi\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=L+2\pi\lambda\,. \end{aligned}$

$(\star)$ {Θεώρημα ολικής καμπυλότητας.}
Υπολογίζουμε

$\begin{aligned} \overrightarrow{\gamma}''(s)&=\lambda\,\overset{\boldsymbol{\cdot}}{\kappa}_{\alpha}(s)\,\overrightarrow{T}(s)+(1+\lambda\,\kappa_{\alpha}(s))\,\overset{\boldsymbol{\cdot}}{\overrightarrow{T}}(s)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\lambda\,\overset{\boldsymbol{\cdot}}{\kappa}_{\alpha}(s)\,\overrightarrow{T}(s)+(1+\lambda\,\kappa_{\alpha}(s))\kappa_{\alpha}(s)\,\overrightarrow{N}(s)\,,\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \overrightarrow{\gamma}'(s)\times\overrightarrow{\gamma}''(s)&=(1+\lambda\,\kappa_{\alpha}(s))\lambda\,\overset{\boldsymbol{\cdot}}{\kappa}_{\alpha}(s)\,\cancelto{\overrightarrow{0}}{\overrightarrow{T}(s)\times\overrightarrow{T}(s)}\,+\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &\hspace{2.0cm}(1+\lambda\,\kappa_{\alpha}(s))^2\kappa_{\alpha}(s)\,\overrightarrow{T}(s)\times\overrightarrow{N}(s)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=(1+\lambda\,\kappa_{\alpha}(s))^2\kappa_{\alpha}(s)\,\overrightarrow{B}(s)\,,\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \big|{\overrightarrow{\gamma}'(s)\times\overrightarrow{\gamma}''(s)}\big|&=(1+\lambda\,\kappa_{\alpha}(s))^2\kappa_{\alpha}(s)\,\cancelto{1}{\big|{\overrightarrow{B}(s)}\big|}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=(1+\lambda\,\kappa_{\alpha}(s))^2\kappa_{\alpha}(s)\,. \end{aligned}$

Άρα

$\begin{aligned} \kappa_{\gamma}(s)&=\frac{\big|{\overrightarrow{\gamma}'(s)\times\overrightarrow{\gamma}''(s)}\big|}{\big|{\overrightarrow{\gamma}'(s)}\big|^3}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\frac{(1+\lambda\,\kappa_{\alpha}(s))^2\kappa_{\alpha}(s)}{(1+\lambda\,\kappa_{\alpha}(s))^3}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\dfrac{\kappa_{\alpha}(s)}{1+\lambda\kappa_{\alpha}(s)}\,. \end{aligned}$
Θεωρούμε την παραμετρική επιφάνεια $\overrightarrow{X}: [0,L]\times[0,\lambda]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3$ με τύπο
$\overrightarrow{X}(s,t)=\overrightarrow{\alpha}(s)-t\, \overrightarrow{N}(s)\,.$
Αυτή έχει εικόνα $S=\overrightarrow{X}\big({[0,L]\times[0,\lambda]}\big)$ το χωρίο που που περικλείουν οι $\gamma$ και $\alpha$ και, συνεπώς, η διαφορά των εμβαδών $A(\Omega_{\gamma})-A(\Omega_{\alpha})$ ισούται με το εμβαδόν . Υπολογίζουμε

$\begin{aligned} \overrightarrow{X}_{s}(s,t)&=\overset{\boldsymbol{\cdot}}{\overrightarrow{\alpha}}(s)-t\,\overset{\boldsymbol{\cdot}}{\overrightarrow{N}}(s)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=(1+t\,\kappa_{\alpha}(s))\,\overrightarrow{T}(s)\,,\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \overrightarrow{X}_{t}(s,t)&=\overrightarrow{N}(s)\,,\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \overrightarrow{X}_{s}\times\overrightarrow{X}_{t} &=(1+t\,\kappa_{\alpha}(s))\,\overrightarrow{T}(s)\times\overrightarrow{N}(s)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=(1+t\,\kappa_{\alpha}(s))\,\overrightarrow{B}(s)\,,\\\noalign{\vspace{0.2cm}} \big|{\overrightarrow{X}_{s}\times\overrightarrow{X}_{t}}\big| &=(1+t\,\kappa_{\alpha}(s))\,\cancelto{1}{\big|{\overrightarrow{T}(s)}\big|}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=1+t\,\kappa_{\alpha}(s)\,. \end{aligned}$

Άρα

$\begin{aligned} A(\Omega_{\gamma})-A(\Omega_{\alpha})=A(S)&=\iint\limits_{[0,L]\times[0,\lambda]}\big|{\overrightarrow{X}_{s}\times\overrightarrow{X}_{t}}\big|\,d(s,t)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\int_{0}^{L}\!\int_{0}^{\lambda}1+t\,\kappa_{\alpha}(s)\,dt\,ds\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\int_{0}^{L}\!\int_{0}^{\lambda}dt\,ds+\int_{0}^{L}\!\int_{0}^{\lambda}t\,\kappa_{\alpha}(s)\,dt\,ds\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\lambda\int_{0}^{L}ds+\frac{\lambda^2}{2}\int_{0}^{L}\kappa_{\alpha}(s)\,ds\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\lambda L+\frac{\lambda^2}{2}\,2\pi\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\lambda L+\lambda^2\pi\hspace{4.0cm}\Rightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} A(\Omega_{\gamma})&=A(\Omega_{\alpha})+\lambda L+\lambda^2\pi\,. \end{aligned}$

Παράλληλες καμπύλες

Παράλληλες καμπύλες

Re: Παράλληλες καμπύλες

Μέλη σε σύνδεση