Περιστοφή-Ανάκλαση-Μεταφορά

Mathletic · #1

Γειά σας!

Θέλω να εξετάσω αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθής ή όχι.

Για μια περιστροφή $\delta\neq id$ μια μεταφορά $\tau$ , το $\delta\circ\tau$ είναι πάντα μια περιστροφή.
Για μια περιστροφή $\delta\neq id$ μια ανάκλαση $\sigma$ , το $\delta\circ\sigma$ δεν είναι ποτέ μια ανάκλαση.
Υπάρχουν ανακλάσεις $\sigma_1, \ldots , \sigma_{2017}$ με $\sigma_{2017}\circ\ldots \circ\sigma_2\circ\sigma_1=id$ .
Η σύνθεση 2 περιστοφών με γωνίες a και b είναι περιστροφή ανν $a+b=k\cdot 2\pi, k\in \mathbb{Z}$ .
Η σύνθεση 2 περιστροφών με γωνίες a και b με $a+b=\pi$ είναι μια ανάκλαση ως προς ένα σημείο.

Σκέφτηκα τα παρακάτω για την κάθε πρόταση:

Αν θεωρήσουμε τα σημεία α και β. Μέσω της περιστροφής με γωνία θ παίρνουμε τα σημεία α' και β' Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων α-β και α'-β' είναι θ, ακόμα και γίνει μεταφορά των α' και β'.
Έχουμε ότι μια περιστροφή είναι η σύνθεση 2 ανακλάσεων, $\delta=\tau \circ \pi$ . Οπότε έχουμε ότι $\delta\circ\sigma=\tau \circ \pi\circ\sigma$ . Το γινόμενο 3 ανακλάσεων είναι ανάκλαση;
Έχουμε περιττό αριθμό ανακλάσεων. Για να εξετάσουμε την πρόταση αυτή, πρέπει να ξέρουμε αν η ανάκλαση είναι άρτια ή περιττή, ή όχι;
Η σύνθεση 2 περιστοφών με γωνίες a και b είναι περιστροφή ανν $a+b=k\cdot 2\pi, k\in \mathbb{Z}$ .

Για να το ελέγουμε αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα περιστροφής.

Μια περιστροφή είναι $\vec{v}\mapsto M(a)\vec{v}$ και η άλλη $\vec{w}\mapsto M(b)\vec{w}$ . Η σύνθεση ορίζεται ως εξής:
$M(a)M(b)\vec{w}=\begin{pmatrix}\cos a & -\sin a \\ \sin a & \cos a \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos b & -\sin b \\ \sin b & \cos b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos a\cos b-\sin a \sin b& -\cos a\sin b-\sin a\cos b \\ \sin a\cos b+\cos a\sin b& -\sin a\sin b+\cos a\cos b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos (a+b)& -\sin(a+b) \\ \sin (a+b)& \cos (a+b)\end{pmatrix}$

Οπότε η σύνθεση είναι πάντα περιστροφή, χωρίς τον παραπάνω περιορισμό.
Έχουμε από την προηγούμενη πρόταση ότι η σύνθεση 2 περιστροφών είναι περιστροφή με γωνία το γινόμενο των 2 γωνιών. Αν περιστρέψουμε το σημείο P γύρω από το κέντρο Z με γωνία 180°, τότε τα P, Z και P’ βρίσκονται σε μια ευθεία. Αυτο περιράφει την ανάκλαση ως προς ένα σημείο.

Είναι σωστές οι ιδέες μου;

#2

Mathletic έγραψε: Είναι σωστές οι ιδέες μου;

Γενικά όχι. Ξεφεύγεις από την ουσία.

Για χιλιοστή φορά θα σε παρότρυνα να ΣΚΕΦΤΕΙΣ μόνος σου τις απαντήσεις. Όλες οι ερωτήσεις είναι αρκετά απλές, σχεδόν τετριμμένες.

Δεν φαίνεται να κατανοείς αυτό που σου λέμε ξανά και ξανά: Αν δεν αυτενεργείς (ιδίως σε πολύ απλά θέματα) ΔΕΝ ΘΑ ΜΑΘΕΙΣ ΠΟΤΕ ΝΑ ΛΥΝΕΙΣ ΜΟΝΟΣ ΣΟΥ τις ασκήσεις.

Νομίζω ότι αυτό φαίνεται έμπρακτα πια. Ρωτάς ξανά και ξανά, όσο απλά και αν είναι τα θέματα, που επιβεβαιώνει ότι δεν κάνεις πρόοδο στην μάθηση.

Συν Αθηνά και χείρα κίνει. Αν στο τέλος ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ χρειαστείς βοήθεια, εδώ είμαστε για να στην δώσουμε απλόχερα.

Ρώτα το φόρουμ ΜΟΝΟ αν έχεις αφιερώσει αρκετή σκέψη. Το να ρωτάς χωρίς ΟΥΣΙΑΣΤΙΚΗ επεξεργασία από μέρους σου, δεν σε βοηθά.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Mathletic έγραψε: Είναι σωστές οι ιδέες μου;
...Ξεφεύγεις από την ουσία...

Συμφωνώ πλήρως με την παρατήρηση του κ. Λάμπρου.
Τα μαθηματικά δεν είναι εφαρμογή με τυχαίο τρόπο κάποιων μεθόδων ή προτάσεων.
(Αν ήταν έτσι κανείς δεν θα ασχολείτο! )

Περιστοφή-Ανάκλαση-Μεταφορά

Περιστοφή-Ανάκλαση-Μεταφορά

Re: Περιστοφή-Ανάκλαση-Μεταφορά

Re: Περιστοφή-Ανάκλαση-Μεταφορά

Μέλη σε σύνδεση