Στροφή ευθείας σε ευθεία

#1

Με αφορμή αυτό:

Να υπολογισθεί η γωνία στροφής, περί άξονα

, ευθείας $\epsilon$ σε ευθεία ${\epsilon }'$ (συναρτήσει των μοναδιαίων διανυσμάτων των τριών ευθειών για παράδειγμα).

Γιώργος Μπαλόγλου

#2

Έστω $\mathbf{v},\mathbf{u},\mathbf{u}'$ τα μοναδιαία διανύσματα των $L,\epsilon$ και $\epsilon'$ αντίστοιχα.

Ας θυμηθούμε (*) ότι ο τύπος της περιστροφής κατά γωνία $\alpha$ γύρω από τον άξονα

είναι

$\displaystyle{ \mathbf{x} \mapsto (\cos{\alpha}) \mathbf{x} + (\sin{\alpha}) \mathbf{v} \wedge \mathbf{x} + (1-\cos{\alpha}) (\mathbf{v} \cdot \mathbf{x}) \mathbf{v}.}$

Άρα

$\mathbf{u}' = \displaystyle{(\cos{\alpha}) \mathbf{u} + (\sin{\alpha}) \mathbf{v} \wedge \mathbf{u} + (1-\cos{\alpha}) (\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}) \mathbf{v}.}$

Παίρνοντας εσωτερικό γινόμενο με το $\mathbf{u}$ και από τις δύο πλευρές έχουμε

$\displaystyle{ \mathbf{u}' \cdot \mathbf{u} = \cos{\alpha} + (1 - \cos{\alpha})(\mathbf{v} \cdot \mathbf{u})^2.}$

Επομένως είναι

$\displaystyle{ \cos{\alpha} = \left( \frac{\mathbf{u}' \cdot \mathbf{u} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{u})^2}{1 - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{u})^2}\right)}$

Ο παρονομαστής δεν μηδενίζεται (από Cauchy-Schwarz) εκτός και αν ο άξονας

και η ευθεία $\varepsilon$ ταυτίζονται.

Επίσης παίρνοντας στην προηγούμενη εξίσωση εσωτερικό γινόμενο με το $\mathbf{v} \wedge \mathbf{u}$ και καταλήγουμε στο

$\displaystyle{ \sin{\alpha} = \frac{\mathbf{u}' \cdot (\mathbf{v} \wedge \mathbf{u})}{\|\mathbf{v} \wedge \mathbf{u}\|^2} }$

Τα πρόσημα των $\cos{\alpha}$ και $\sin{\alpha}$ θα μας δώσουν και σε πιο τετραρτημόριο ανοίκει η γωνία οπότε θα την έχουμε προσδιορίσει πλήρως.

(*) Εδώ ζητώ να αποδειχθεί αυτός ο τύπος.

#3

Δεν θυμάμαι τι ακριβώς είχα κατά νου πριν τρία χρόνια, και γιατί δεν δημοσίευσα τότε την όποια λύση μου (σίγουρα διαφορετική από την λύση του Δημήτρη). Με την ευκαιρία της έμμεσης ανακίνησης του θέματος από τον Σταύρο (εδώ) επανέρχομαι:

Αν $\alpha$ η γωνία στροφής, $\gamma$ η γωνία ανάμεσα στις $\epsilon$ και $\epsilon '$ , και $\theta$ η γωνία ανάμεσα στις

και $\epsilon$ (που είναι βέβαια ίδια με την γωνία ανάμεσα στις

και $\epsilon '$ ), τότε

$cos\alpha =\dfrac{cos\gamma -cos^2\theta}{sin^2\theta}.$

Όλα ανάγονται στο συνημμένο σχήμα και σε εφαρμογή του Νόμου Συνημιτόνων στα τρίγωνα OPQ

και

, όπου

,

οι προβολές των $\epsilon$ , $\epsilon '$ επί του καθέτου προς την

επιπέδου και |OA|=|OB|

, $|OP|=|OQ|=|OA|sin\theta$ , |PQ|=|AB|

: πράγματι, από τις $|PQ|^2=2|OP|^2-2|OP|^2cos\alpha$ και $|AB|^2=2|OA|^2-2|OA|^2cos\gamma$ προκύπτει ο παραπάνω τύπος.

Στροφή ευθείας σε ευθεία

Στροφή ευθείας σε ευθεία

Re: Στροφή ευθείας σε ευθεία

Re: Στροφή ευθείας σε ευθεία

Μέλη σε σύνδεση