Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων
Συντονιστής: matha
-
- Δημοσιεύσεις: 15
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 04, 2019 5:08 pm
Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων
Χαίρεται !!
Έχω μία άσκηση αλλά οι ιδέες μου έχουν στερέψει. Η άσκηση λέει:
Βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο την κοινή χορδή των κύκλων:
&
(Σκέφτηκα να βρω την τομή των δύο κύκλων , η τομή που βρίσκω είναι μία ευθεία.
δε με βοήθησε κάπου αυτή η πληροφορία όμως)
Έχω μία άσκηση αλλά οι ιδέες μου έχουν στερέψει. Η άσκηση λέει:
Βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο την κοινή χορδή των κύκλων:
&
(Σκέφτηκα να βρω την τομή των δύο κύκλων , η τομή που βρίσκω είναι μία ευθεία.
δε με βοήθησε κάπου αυτή η πληροφορία όμως)
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων
Είσαι στην αρχή ακόμα της λύσης.Έλενα Σάββα έγραψε: ↑Παρ Ιαν 04, 2019 5:52 pmΧαίρεται !!
Έχω μία άσκηση αλλά οι ιδέες μου έχουν στερέψει. Η άσκηση λέει:
Βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο την κοινή χορδή των κύκλων:
&
(Σκέφτηκα να βρω την τομή των δύο κύκλων , η τομή που βρίσκω είναι μία ευθεία.
δε με βοήθησε κάπου αυτή η πληροφορία όμως)
Υπόδειξη: Όπως σωστά λες, θέλεις την τομή των κύκλων δηλαδή θέλεις τις συντεταγμένες
των (δύο) σημείων. Αυτό που βρήκες είναι η κοινή τους χορδή, όχι η τομή τους.
Συνέχισε από εκεί που το άφησες.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
-
- Δημοσιεύσεις: 15
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 04, 2019 5:08 pm
Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων
Σας ευχαριστώ για την άμεση απάντηση σας.
Παραμένω ακόμα προβληματισμένη αλλά θα το προσπαθήσω να βρω την απάντηση.
Παραμένω ακόμα προβληματισμένη αλλά θα το προσπαθήσω να βρω την απάντηση.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων
Βρήκες μία ευθεία. Τα σημεία τομής αυτής της ευθείας με έναν από τους δύο κύκλους είναι τα άκρα της κοινής χορδής.Έλενα Σάββα έγραψε: ↑Παρ Ιαν 04, 2019 6:27 pmΣας ευχαριστώ για την άμεση απάντηση σας.
Παραμένω ακόμα προβληματισμένη αλλά θα το προσπαθήσω να βρω την απάντηση.
-
- Δημοσιεύσεις: 15
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 04, 2019 5:08 pm
Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων
:ε ,η ευθεία της χορδής
:C1
Κάνω αντικατάσταση και έχω:
Ως αποτέλεσμα έχω:
Συνεπώς έχω το μήκος της χορδής ,που είναι το μήκος της διαμέτρου:
άμεσα βρίσκω το μήκος της ακτίνας:
το μέσον της χορδής θα είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου ,(έστω σημείο Μ το κέντρο του): Μ:(3,1)
Σας ευχαριστώ και πάλι!
:C1
Κάνω αντικατάσταση και έχω:
Ως αποτέλεσμα έχω:
Συνεπώς έχω το μήκος της χορδής ,που είναι το μήκος της διαμέτρου:
άμεσα βρίσκω το μήκος της ακτίνας:
το μέσον της χορδής θα είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου ,(έστω σημείο Μ το κέντρο του): Μ:(3,1)
Σας ευχαριστώ και πάλι!
Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων
Έλενα Σάββα έγραψε: ↑Παρ Ιαν 04, 2019 8:49 pm:ε ,η ευθεία της χορδής
:C1
Κάνω αντικατάσταση και έχω:
Ως αποτέλεσμα έχω:
Συνεπώς έχω το μήκος της χορδής ,που είναι το μήκος της διαμέτρου:
άμεσα βρίσκω το μήκος της ακτίνας:
το μέσον της χορδής θα είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου ,(έστω σημείο Μ το κέντρο του): Μ:(3,1)
Σας ευχαριστώ και πάλι!
Ωραία δεσποινίς ( υποθέτω μαθήτρια) . Θα μπορούσες να βρεις την εξίσωση αυτή αλλά χωρίς να προσδιορίσεις τα σημεία τομής των δύο κύκλων;
Η λύση που σου ζητώ έχεις λιγότερες πράξεις (νομίζω) αλλά είναι πιο ανεβασμένου επιπέδου.
-
- Δημοσιεύσεις: 15
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 04, 2019 5:08 pm
Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων
Δίδονται οι κύκλοι με εξισώσεις :
α)Δείξετε ότι έχουν κέντρα και ακτίνες αντίστοιχα :
β) Δείξετε ότι:
γ) Δείξετε ότι οι κύκλοι τέμνονται χωρίς υπολογισμό των σημείων τομής τους .
δ) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο τη κοινή χορδή των δύο αυτών κύκλων , χωρίς να υπολογίσετε τα κοινά σημεία των δύο κύκλων.
ε) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα κοινά σημεία των δύο κύκλων και από την αρχή των αξόνων. χωρίς να υπολογίσετε τα κοινά σημεία των δύο κύκλων.
-
- Δημοσιεύσεις: 15
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 04, 2019 5:08 pm
Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων
α.Doloros έγραψε: ↑Παρ Ιαν 04, 2019 11:22 pmΔίδονται οι κύκλοι με εξισώσεις :
α)Δείξετε ότι έχουν κέντρα και ακτίνες αντίστοιχα :
β) Δείξετε ότι:
γ) Δείξετε ότι οι κύκλοι τέμνονται χωρίς υπολογισμό των σημείων τομής τους .
δ) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο τη κοινή χορδή των δύο αυτών κύκλων , χωρίς να υπολογίσετε τα κοινά σημεία των δύο κύκλων.
ε) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα κοινά σημεία των δύο κύκλων και από την αρχή των αξόνων. χωρίς να υπολογίσετε τα κοινά σημεία των δύο κύκλων.
Προφανώς:
β. ΚΛ=(-2,-2),
γ. Για να τέμνονται πρεπει:
που ισχύει.
δ. για αυτό το ερώτημα σκέφτηκα ότι η διάκεντρος είναι κάθετη με την κοινή χορδή, δεν κατέληξα κάπου. Όπως και για το επόμενο.
Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων
Πάμε σιγά- σιγά λοιπόν :
Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει η εξίσωση:
που εκφράζει την ευθεία της κοινής χορδής των δύο κύκλων (Ριζικός άξονας),
Πάρε την εξίσωση : και δες
Ότι διέρχεται από τα κοινά σημείο του πρώτου του κύκλου με την ευθεία γιατί
Ταυτόχρονα ισχύει :
και μετά δείξε ότι αυτή η εξίσωση γράφεται: :
όπου είναι εκφράσεις του .
Βρες π. χ. την τετμημένη του κέντρου ( ως έκφραση του ) και πρέπει να επαληθεύεται από την τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας με την κοινή χορδή..
θα μπορούσα την παραμετρική εξίσωση να τη γράψω με χρήση των εξισώσεων των δύο κύκλων αλλά καλύτερα έτσι για να μην έχω δύσκολες πράξεις
Παλιότερα που η Β λυκείου έγραφε πανελλήνιες ή πιο παλιά που η Γ τάξη έγραφε σε περισσότερη ύλη είχαν τεθεί τέτοια θέματα .
Μόνη μετά, το άλλο ερώτημα.
Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει η εξίσωση:
που εκφράζει την ευθεία της κοινής χορδής των δύο κύκλων (Ριζικός άξονας),
Πάρε την εξίσωση : και δες
Ότι διέρχεται από τα κοινά σημείο του πρώτου του κύκλου με την ευθεία γιατί
Ταυτόχρονα ισχύει :
και μετά δείξε ότι αυτή η εξίσωση γράφεται: :
όπου είναι εκφράσεις του .
Βρες π. χ. την τετμημένη του κέντρου ( ως έκφραση του ) και πρέπει να επαληθεύεται από την τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας με την κοινή χορδή..
θα μπορούσα την παραμετρική εξίσωση να τη γράψω με χρήση των εξισώσεων των δύο κύκλων αλλά καλύτερα έτσι για να μην έχω δύσκολες πράξεις
Παλιότερα που η Β λυκείου έγραφε πανελλήνιες ή πιο παλιά που η Γ τάξη έγραφε σε περισσότερη ύλη είχαν τεθεί τέτοια θέματα .
Μόνη μετά, το άλλο ερώτημα.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων
Για ξαναδές το αυτό. Προφανώς πρόκειται για αθώα αβλεψία που όμως συμπαρασύρει την σωστή απάντηση για την εξίσωση του κύκλου.Έλενα Σάββα έγραψε: ↑Παρ Ιαν 04, 2019 8:49 pmτο μέσον της χορδής θα είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου ,(έστω σημείο Μ το κέντρο του): Μ:(3,1)
Ζητώ να το ξαναδείς γιατί πρόκειται θα σου πω έναν πολύ ωραίο και γρήγορο τρόπο να βρίσκεις την εξίσωση κύκλου ο οποίος έχει διάμετρο
ένα ευθύγραμμο τμήμα με γνωστά άκρα (όπως εδώ). Οπότε θέλω να έχουμε την σωστή απάντηση, για να μην φανεί ότι βρίσκω άλλο αποτέλεσμα από το δικό σου.
Θα περιμένω την διόρθωση. Υπόψη ότι την σωστή τελική απάντηση την έχει δώσει ούτως ή άλλως ο Γιώργος παραπάνω.
-
- Δημοσιεύσεις: 15
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 04, 2019 5:08 pm
Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων
Ναι ,έχετε δίκιο:Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 05, 2019 6:43 pmΈλενα Σάββα έγραψε: ↑Παρ Ιαν 04, 2019 8:49 pmτο μέσον της χορδής θα είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου ,(έστω σημείο Μ το κέντρο του): Μ:(3,1)
Θα περιμένω την διόρθωση. Υπόψη ότι την σωστή τελική απάντηση την έχει δώσει ούτως ή άλλως ο Γιώργος παραπάνω.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων
Ωραία. Με αυτό ως δεδομένο, η (σωστή) εξίσωση του ζητούμενου κύκλου είναι η .
Όπως υποσχέθηκα, ένας ωραίος και γρήγορος τρόπος να βρούμε την εξίσωση χωρίς πρώτα να προσδιορίσουμε το κέντρο και την ακτίνα είναι ο εξής:
Θέλουμε τον κύκλο με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα που βρήκες στο ποστ #6. Αν λοιπόν στον κύκλο, τότε από ιδιότητα της διαμέτρου τα είναι κάθετα. Άρα από τις κλίσεις τους
.
Οπότε , και άρα που είναι ο ίδιος με τον προηγούμενο (απλές πράξεις).
Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων
Κάτι παρεμφερές :Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 05, 2019 11:41 pmΩραία. Με αυτό ως δεδομένο, η (σωστή) εξίσωση του ζητούμενου κύκλου είναι η .
Όπως υποσχέθηκα, ένας ωραίος και γρήγορος τρόπος να βρούμε την εξίσωση χωρίς πρώτα να προσδιορίσουμε το κέντρο και την ακτίνα είναι ο εξής:
Θέλουμε τον κύκλο με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα που βρήκες στο ποστ #6. Αν λοιπόν στον κύκλο, τότε από ιδιότητα της διαμέτρου τα είναι κάθετα. Άρα από τις κλίσεις τους
.
Οπότε , και άρα που είναι ο ίδιος με τον προηγούμενο (απλές πράξεις).
Για κάθε του κύκλου , αλλά και άρα :
-
- Δημοσιεύσεις: 15
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 04, 2019 5:08 pm
Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων
Κάποια στιγμή, αν δεν απαντηθούν πλήρως , θα απαντήσω πλήρως στα δύο τελευταία ερωτήματα μου .
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1798
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων
Για το (ε):Doloros έγραψε: ↑Παρ Ιαν 04, 2019 11:22 pmΔίδονται οι κύκλοι με εξισώσεις :
α)Δείξετε ότι έχουν κέντρα και ακτίνες αντίστοιχα :
β) Δείξετε ότι:
γ) Δείξετε ότι οι κύκλοι τέμνονται χωρίς υπολογισμό των σημείων τομής τους .
δ) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο τη κοινή χορδή των δύο αυτών κύκλων , χωρίς να υπολογίσετε τα κοινά σημεία των δύο κύκλων.
ε) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα κοινά σημεία των δύο κύκλων και από την αρχή των αξόνων. χωρίς να υπολογίσετε τα κοινά σημεία των δύο κύκλων.
Πολλαπλασιάζω την εξίσωση του πρώτου κύκλου με και την εξίσωση του δεύτερου κύκλου με ( πραγματικοί αριθμοί) και προσθέτω κατα μέλη. Προκύπτει η εξίσωση
(1)
τα σημεία τομής των κύκλων είναι υποσύνολο των σημείων που ορίζει η (1). Για η (1) γράφεται διαδοχικά
(2)
Για να διέρχεται η καμπύλη (2) από την αρχή των αξόνων θα πρέπει το σημείο να την ικανοποιεί. Αντικαθιστώντας βρίσκουμε οτι θα πρέπει (3). Στην περίπτωση αυτή η (2) παριστάνει τον κύκλο
(4)
Ο οποίος λόγω της σχέσης (3) γίνεται
(5)
Ο παραπάνω κύκλος (5) είναι ο ζητούμενος.
Παρομοίως μπορεί να απαντηθεί και το ερώτημα (δ).
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15764
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Εύρεση κύκλου από χορδή τεμνόμενων κύκλων
Γλιτώνουμε λίγο κόπο αν εργαστούμε με μία παράμετρο στην θέση των . Συγκεκριμένα:
Παρατηρούμε τι για κάθε η εξίσωση παριστάνει κύκλο (απλό: βάλε τους ομοειδείς όρους μαζί) και ότι τα κοινά σημεία των αρχικών ικανοποιούν την εξίσωση που μόλις έγραψα (διότι στα σημεία τομής δίνει ).
Αν θέλουμε ο κύκλος αυτός να διέρχεται από το , απαιτούμε , οπότε . Άρα ο ζητούμενος είναι ο , που εύκολα γράφεται σε κανονική μορφή (διαίρεσε με το ).
Παρατηρούμε τι για κάθε η εξίσωση παριστάνει κύκλο (απλό: βάλε τους ομοειδείς όρους μαζί) και ότι τα κοινά σημεία των αρχικών ικανοποιούν την εξίσωση που μόλις έγραψα (διότι στα σημεία τομής δίνει ).
Αν θέλουμε ο κύκλος αυτός να διέρχεται από το , απαιτούμε , οπότε . Άρα ο ζητούμενος είναι ο , που εύκολα γράφεται σε κανονική μορφή (διαίρεσε με το ).
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες