ΕΥΡΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ 2 ΣΗΜΕΙΑ

ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ · #1

ΖΗΤΕΤΑΙ Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΤΩΝ ΟΠΟΙΩΝ ΟΙ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟ 2 ΣΤΑΘΕΡΑ ΣΗΜΕΙΑ ΕΧΟΥΝ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΣΤΑΘΕΡΟ

ΣΗΜΕΙΩΝΩ ΟΤΙ ΕΝΩ ΟΙ ΑΛΛΕΣ 3 ΠΡΑΞΕΙΣ (ΠΡΟΣΘΕΣΗ-ΑΦΑΙΡΕΣΗ & ΠΗΛΙΚΟΝ) ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΩΝ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ ΕΙΝΑΙ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΣΤΗΝ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΟ ΠΡΑΓΜΑ ΔΙΑΦΕΡΕΙ. ΝΟΜΙΖΩ ΟΤΙ ΕΧΕΙ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝ
ΚΑΛΗ ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΗ
Γ. ΜΠΑΦΑΣ

#2

ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΠΑΦΑΣ έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 19, 2019 3:40 pm
ΖΗΤΕΤΑΙ Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΤΩΝ ΟΠΟΙΩΝ ΟΙ ΑΠΟΣΤΑΣΕΙΣ ΑΠΟ 2 ΣΤΑΘΕΡΑ ΣΗΜΕΙΑ ΕΧΟΥΝ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΣΤΑΘΕΡΟ

Δεν είναι απόλυτα τετριμμένο;

Χωρίς βλάβη τα σημεία είναι τα (0,0), (1,0)

. Άρα ο ζητούμενος τόπος είναι $\displaystyle{ \sqrt {x^2+y^2} \sqrt {(x-1)^2+y^2} =c^2}$ . Και λοιπά.

Ας επισημάνω ότι καλό είναι να γράφουμε με πεζά γράμματα γιατί αλλιώς είναι σαν να φωνάζουμε.

KARKAR · #3

: _Έλλειψη_.png (12.1 KiB) Προβλήθηκε 2372 φορές

Ας θεωρήσουμε ως άκρα τα σημεία A(-1,0) , B(1,0)

και το σταθερό γινόμενο

.

Τότε : $\sqrt{(x+1)^2+y^2}\sqrt{(x-1)^2+y^2}=8$ ή :

((x+1)^2+y^2)((x-1)^2+y^2)=64

. Το λογισμικό

δίνει ως λύση , ένα σχήμα σε στυλ έλλειψης , με εξίσωση :

x^4+y^4+2x^2y^2-2x^2+2y^2=63

. "Μαντεύοντας" ,

βλέπω πως πρόκειται για την έλλειψη : $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{7}=1$ .

Εξηγήστε την " μικρο-απάτη "

Christos.N · #4

#5

Πρόκειται για τις καμπύλες (ωοειδείς) του Cassini. Μερικές πληροφορίες υπάρχουν εδώ.

#6

matha έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 19, 2019 7:55 pm
Πρόκειται για τις καμπύλες (ωοειδείς) του Cassini. Μερικές πληροφορίες υπάρχουν εδώ.

Θάνο καλημέρα...
Με αφορμή το μήνυμά σου, αναρτώ δυο σχήματα που έκανα με λογισμικό για τέτοιες καμπύλες. Ίσως αργότερα να
αναρτήσω και για αντίστοιχες επιφάνειες στο χώρο.

Δυο σχήματα με σμήνη τέτοιων καμπυλών Cassini.

1o Σχήμα:

: Cassini 2.png (41.52 KiB) Προβλήθηκε 2282 φορές

Θυμίζω, τα όσα λέχθηκαν ανωτέρω, ότι κάθε σημείο των καμπυλών αυτών απέχει από τις δύο εστίες
αποστάσεις με σταθερό γινόμενο.

2ο Σχήμα:

: Cassini 5.png (62.56 KiB) Προβλήθηκε 2282 φορές

Το σχήμα αυτό έχει καμπύλες Cassini με πέντε εστίες και φυσικά κάθε σημείο από αυτές απέχει αποστάσεις
από τις εστίες αυτές με σταθερό γινόμενο.

Τα σχήματα κατασκευάστηκαν σύμφωνα με την εξίσωση:

$\displaystyle{ \ro=a*\sqrt{cos(n\theta)\pm \sqrt{(\frac{b}{a})^{2n}-sin^2(n\theta)}} \ \ (1)}$

όπου το $\displaystyle{a>0}$ ορίζει την απόσταση των εστιών από την αρχή των αξόνων και το $\displaystyle{b>0}$ ορίζει
την τιμή του σταθερού γινομένου των αποστάσεων, δηλαδή:

$\displaystyle{ (ME_1)(ME_2)\cdot ... \cdot (ME_n)=b^n }$

Όπου $\displaystyle{M}$ ένα τυχαίο σημείο της μιας των καμπυλών αυτών και $\displaystyle{ E_1, E_2, ... , E_n}$ οι εστίες αυτής.

Κώστας Δόρτσιος

ΥΓ. Παραθέτω κι ένα δυναμικό σχήμα και για άλλες τέτοιες καμπύλες, με οδηγίες χρήσης.

2.ggb: (13.8 KiB) Μεταφορτώθηκε 45 φορές

#7

Αναρτώ και μια από τις λεγόμενες επιφάνειες Cassini

Τα δύο αυτά σχήματα είναι εικόνες της ίδιας επιφάνειας.

: Επιφάνεια Cassini 3.png (67.96 KiB) Προβλήθηκε 2196 φορές

Το πρώτο σχήμα είναι μια "όψη" της επιφάνειας αυτής από τυχαία
θέση και το δεύτερο είναι μια "κάτοψη" αυτής.

Οι κίτρινες καμπύλες είναι τομές της επιφάνειας αυτής με επίπεδα
παράλληλα ως προς το επίπεδο $\displaystyle{xOy}$ και είναι όλες αυτές ένα
σμήνος καμπυλών Cassini! Αυτή εξάλλου είναι και η βασική ιδιότητα
της επιφάνειας αυτής.

Αξίζει να προσέξει κανείς ότι το δεύτερο σχήμα είναι όμοιο με το
σχήμα 1 της πρώτης μου ανάρτησης με "φόντο" την πράσινη
επιφάνεια Cassini!

Σημειώνω ότι η καμπύλη αυτή σχεδιάστηκε σύμφωνα με την εξίσωση:

$\displaystyle{(x^2+y^2)^2+2a^2(y^2-x^2)=c^3z, \ \ a>0, c>0 \ \ (1)}$

Κώστας Δόρτσιος

#8

Και μια ακόμα επιφάνεια Cassini...

: Επιφάνεια Cassini 4.png (97.13 KiB) Προβλήθηκε 2146 φορές

Έχω φωτογραφήσει δύο όψεις μιας επιφάνειας Cassini, που σχεδίασα με το λογισμικό μου,

οι οποίες δείχνουν τις τομές αυτής με επίπεδα παράλληλα προς το επίπεδο $\displaystyle{xOy}$ .

Οι τομές αυτές είναι καμπύλες Cassini όπως εύκολα μπορεί κανείς να παρατηρήσει.

Η σχεδίαση έγινε σύμφωνα με την εξίσωση:

$\displaystyle{((x+a)^2+y^2)((x-a)^2+y^2)[(x^2+y^2+a^2)^2-4a^2x^2]=z^4 , \ \ a>0 \ \ (1) }$

Οι δύο ακίδες του επάνω μέρους έχουν σημειακή σχέση με τις αντίστοιχες ακίδες του
κάτω μέρους, κάτι που στην ανωτέρω εικόνα δεν φαίνεται καθαρά. Αδυναμία του
λογισμικού...

Κώστας Δόρτσιος

#9

Συνεχίζω με την παρουσίαση επιφανειών Cassini....

Δείτε μια "ερμητικά" κλεισμένη τέτοια επιφάνεια!
..... (είναι σαν εκείνες τις ρώσικες μπαμπούσκες!)

: Cassini c - μπαμπούσκα 1.png (47.46 KiB) Προβλήθηκε 2108 φορές

Μπορείτε να την ανοίξετε και να δείτε το περιεχόμενό της αν μπείτε στο
συνημμένο αρχείο.

Μπαμπούσκα 1.ggb: (19.86 KiB) Μεταφορτώθηκε 58 φορές

Κώστας Δόρτσιος

ΥΓ.1. Μοιάζει και σαν .... ένα "νεροκολοκύθι"...ή ακόμα και σαν ένα "αράπικο φυστίκι"!
Αν δεν το ανοίξετε εσείς, θα το ανοίξω εγώ, σε άλλη ανάρτηση.

ΥΓ. 2. Η επιφάνεια αυτή Casssini κατασκευάστηκε με λογισμικό σύμφωνα με την εξίσωση:

$\displaystyle{x^2+y^2+z^2+a^2-\sqrt{b^4+4a^2x^2}=0, \ \ a,b>0}$

#10

Αναρτώ την κατωτέρω εικόνα που απεικονίζει τα δύο τμήματα
της εικόνας της προηγούμενης ανάρτησης.

: Μπαμπούσκα 2.png (135.97 KiB) Προβλήθηκε 2071 φορές

Παρατηρούμε ότι μέσα της ήταν δυο
άλλες επιφάνειες Cassini όμοιες με την αρχική.
Βλέπουμε επίσης και τρεις καμπύλες Cassini με
κίτρινο χρώμα.

Κώστας Δόρτσιος

Ιωάννης · #11

Καλησπέρα σε όλους
Σχετικά με το θέμα του γ.τ. σημείων με σταθερό γινόμενο αποστάσεων από δύο σημεία - εστίες στο επίπεδο, που καταλήγει στις γνωστές καμπύλες του Cassini, έχω για την ιστορία να σας πω τα εξής.
Σε μια μελέτη που δημοσίευσα το 1987 με τίτλο "Μελέτη των Γεωμετρικών Ιδιοτήτων των Ροπών Αδράνειας σε μια Τυχούσα Επίπεδη Συνεκτική Διατομή" στα Τεχνικά Χρονικά του ΤΕΕ (Περιοχή Α, Τομ. 7, Τευχ. 2 σελ. 107-131) αλλά και το 1994 στο περιοδικό Mécanique Appliquée (Vol.39, No.2, Mars-Avril 1994, pp. 141-155) αναφέρεται ότι ο γ.τ. των σημείων μιας διατομής με σταθερή μέγιστη Φυγόκεντρη Ροπή Αδράνειας καταλήγει σε μια έκφραση σταθερού γινομένου αποστάσεων ως προς δύο χαρακτηριστικά σημεία της διατομής και οδηγεί, ανεξάρτητα με το σχήμα της διατομής, σε ένα πλέγμα καμπύλων Cassini.
Καλή συνέχεια σε όλους
Γιάννης Σταμπούλογλου
Πολιτικός Μηχανικός

ΕΥΡΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ 2 ΣΗΜΕΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ 2 ΣΗΜΕΙΑ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ 2 ΣΗΜΕΙΑ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ 2 ΣΗΜΕΙΑ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ 2 ΣΗΜΕΙΑ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ 2 ΣΗΜΕΙΑ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ 2 ΣΗΜΕΙΑ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ 2 ΣΗΜΕΙΑ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ 2 ΣΗΜΕΙΑ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ 2 ΣΗΜΕΙΑ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ 2 ΣΗΜΕΙΑ

Re: ΕΥΡΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΤΟΠΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΝ ΑΠΟ 2 ΣΗΜΕΙΑ

Μέλη σε σύνδεση