Όγκος ίδιος με τις προβολές
Συντονιστής: matha
Όγκος ίδιος με τις προβολές
Δίνονται τρία διανύσματα στον . Μπορούμε να βρούμε ένα σύνολο (πιθανόν κυρτό) ώστε να ισχύουν τα ακόλουθα ταυτόχρονα;
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Λέξεις Κλειδιά:
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Όγκος ίδιος με τις προβολές
Χωρίς βλάβη της γενικότητας τα είναι μοναδιαία. Θεωρώ όλα τα ώστε και παίρνω το να είναι το σύνολο αυτών των .
Οι (1),(2) ικανοποιούνται, αλλά αντί της (3) έχουμε όπου . Πράγματι αυτό είναι συνέπεια της παρατήρησης ότι αν και μόνο αν .
Όμως . Άρα .
Παίρνω τώρα ένα υποσύνολο του ώστε . Τώρα μπορεί να χάλασα τις (1) και (2). Αυτό όμως διορθώνεται εύκολα. Μπορώ να προσθέσω ένα σύνολο μηδενικού όγκου ώστε όλες οι προβολές να γίνουν ξανά ίσες με 1.
[Το πιο πάνω νομίζω δουλεύει ακόμη και αν τα δεν είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Σε αυτήν την περίπτωση θα έχουμε αρχικά αλλά αυτό δεν διαφοροποιεί το επιχείρημα. Απλά θέλουμε τα διανύσματα να μην είναι μηδενικά ώστε να έχουν νόημα οι προβολές.]
Οι (1),(2) ικανοποιούνται, αλλά αντί της (3) έχουμε όπου . Πράγματι αυτό είναι συνέπεια της παρατήρησης ότι αν και μόνο αν .
Όμως . Άρα .
Παίρνω τώρα ένα υποσύνολο του ώστε . Τώρα μπορεί να χάλασα τις (1) και (2). Αυτό όμως διορθώνεται εύκολα. Μπορώ να προσθέσω ένα σύνολο μηδενικού όγκου ώστε όλες οι προβολές να γίνουν ξανά ίσες με 1.
[Το πιο πάνω νομίζω δουλεύει ακόμη και αν τα δεν είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Σε αυτήν την περίπτωση θα έχουμε αρχικά αλλά αυτό δεν διαφοροποιεί το επιχείρημα. Απλά θέλουμε τα διανύσματα να μην είναι μηδενικά ώστε να έχουν νόημα οι προβολές.]
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες