Ευθεία στο C-επίπεδο, γενική μορφή

Συντονιστής: matha

Έλενα Σάββα
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Παρ Ιαν 04, 2019 5:08 pm

Ευθεία στο C-επίπεδο, γενική μορφή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Έλενα Σάββα » Τετ Ιούλ 24, 2019 4:30 pm

Βρείτε στην μορφή \bar{u}z+u\bar{z}+c=0 την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία w_{1}=3-i  ,  w_{2}=-1+i.

Γνωρίζω πως το διάνυσμα διεύθυνσης είναι w_{1}-w_{2}=4-2i.
Παρόλα αυτά οι σημειώσεις μου με έχουν μπερδέψει και δεν έχω κάποιο αντίστοιχο παράδειγμα για να ξεκαθαρίσω τα επόμενα βήματα για να την βρω στη συγκεκριμένη μορφή.

ευχαριστώ για τον χρόνο του ,όποιος ασχοληθεί. :)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8444
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ευθεία στο C-επίπεδο, γενική μορφή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιούλ 24, 2019 5:47 pm

Λοιπόν, θα σου δείξω πως να βρεις την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα u = 1+i και v = 2-i ώστε να έχεις ένα παράδειγμα. Θα σου δείξω δύο τρόπους.

Πρώτος Τρόπος

Μια διεύθυνση της ευθείας είναι η w = u-v = -1+2i. Άρα η ευθεία μπορεί να γραφτεί στη μορφή z = u + tw = (1+i) + t(-1+2i) με t \in \mathbb{R}. Παίρνοντας συζυγείς (χρησιμοποιώντας ότι t \in \mathbb{R}) έχουμε και \overline{z} = (1-i) + t(-1-2i). Τώρα απαλείφουμε το t. Έχουμε

\displaystyle  (-1-2i)z = (-1-2i)(1+i) + t(-1-2i)(-1+2i) = (1-3i)+ t(-1-2i)(-1+2i)
\displaystyle  (-1+2i)\overline{z} = (-1+2i)(1-i) + t(-1+2i)(-1-2i) = (1+3i)+ t(-1+2i)(-1-2i)

Αφαιρώντας καταλήγουμε στο

\displaystyle  (-1-2i)z -(-1+2i)\overline{z} = (1-3i) - (1+3i) =  -6i

ή ισοδύναμα

\displaystyle  (1+2i)z - (1-2i)\overline{z} = 6i

Δεν είναι ακριβώς στη μορφή που το θέλεις επειδή το φέραμε στην μορφή \overline{u}z - u\overline{z}=c. Πολλαπλασιάζοντας όμως με i θα έρθει στη μορφή

\displaystyle  (-2+i)z + (-2-i)\overline{z} = -6

ή ισοδύναμα

\displaystyle  (2+i)\overline{z} + (2-i)z - 6 = 0.

Σημείωση: Αν η εξίσωση της ευθείας γραφτεί στη μορφή \overline{u}z + u\overline{z}+c=0 τότε το c θα είναι πραγματικός αριθμός.

Δεύτερος Τρόπος

Με τη γνωστή μέθοδο βρίσκουμε την καρτεσιανή εξίσωση της ευθείας. Παραλείπω τις πράξεις αλλά βγαίνει y = -2x+3. Χρησιμοποιούμε τώρα τα x = \frac{z + \overline{z}}{2} και y = \frac{z - \overline{z}}{2i}. Άρα

\displaystyle  \frac{z - \overline{z}}{2i} = -(z + \overline{z}) + 3

Ισοδύναμα

\displaystyle  z - \overline{z} = -2i(z+\overline{z}) + 6i

και

\displaystyle  (1+2i)z - (1-2i)\overline{z} = 6i

Όπως και προηγουμένως καταλήγουμε στη

\displaystyle  (2+i)\overline{z} + (2-i)z - 6 = 0.


Έλενα Σάββα
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Παρ Ιαν 04, 2019 5:08 pm

Re: Ευθεία στο C-επίπεδο, γενική μορφή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Έλενα Σάββα » Τετ Ιούλ 24, 2019 6:33 pm

Demetres έγραψε:
Τετ Ιούλ 24, 2019 5:47 pm
Λοιπόν, θα σου δείξω πως να βρεις την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα u = 1+i και v = 2-i ώστε να έχεις ένα παράδειγμα. Θα σου δείξω δύο τρόπους.
Σας ευχαριστώ ,πλήρως κατανοητοί και οι δύο τρόποι.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης