Όγκος στερεού

J K · #1

Μια άσκηση για όποιον θέλει να περάσει ευχάριστα το χρόνο του...

Δίνεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με τύπο f(x)=-x^2+x

Να υπολογίσετε τον όγκο του στερεού που παράγεται από την περιστροφή του χωρίου που περικλείεται από το γράφημα της

και τον άξονα των τετμημένων όταν αυτό:
(α) περιστραφεί πλήρως γύρω από τον άξονα των τεταγμένων
(β) περιστραφεί πλήρως γύρω από την ευθεία με εξίσωση x=-1.

#2

J K έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 05, 2019 3:21 pm
Μια άσκηση για όποιον θέλει να περάσει ευχάριστα το χρόνο του...

Εεε όχι. To αντίθετο! Η άσκηση είναι θέμα ρουτίνας χωρίς κανένα ενδιαφέρον. Απλές πράξεις από έτοιμους τύπους, στάνταρ θέμα κάθε χρόνο π.χ. στο GCE.

Για παράδειγμα, στο α) έχουμε περιστροφή κάποιας $y = f(x) \ge 0$ (τμήμα παραβολής) με $0\le x \le 1$ . Εδώ τα 0,1

είναι οι ρίζες της -x^2+x=0

. Συνεπώς $\displaystyle{V=\pi \int _0^1 f^2(x)dx = \pi \int _0^1 (-x^2+x)^2dx }$ που είναι άμεσο ως ολοκλήρωμα πολυωνύμου. Θα βρούμε $\frac {\pi}{30}$ .

β) Κάνουμε ανάλογη εργασία για την περιστροφή γύρω από τον άξονα των

με μόνη διαφορά ότι πρέπει να αντιστρέψουμε την συνάρτηση. Η συγκεκριμένη έχει το $x=\frac {1}{2}$ ως σημείο μεγίστου και μονοτονία εκατέρωθεν, και έτσι εργαζόμεστε χωριστά για το τμήμα με $0\le x \le \frac {1}{2}$ και χωριστά με το τμήμα για $\frac {1}{2}\le x \le 1$ . Με άλλα λόγια περιστρέφουμε πρώτα το τμήμα με $\frac {1}{2}\le x \le 1$ και μετά αφαιρούμε τον όγκο εκ περιστροφής για $0\le x \le \frac {1}{2}$ . Δεν αξίζει τον κόπο η πληκτρολόγηση.

γ) Καμία ουσιαστική διαφορά από το προηγούμενο. Απλά ο άξονας εκ περιστροφής πήγε μία μονάδα αριστερότερα.

J K · #3

Έντάξει! Θα ποστάρω θέμα με μεγαλύτερο ενδιαφέρον την επόμενη φορά.

#4

J K έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 05, 2019 5:47 pm
Έντάξει! Θα ποστάρω θέμα με μεγαλύτερο ενδιαφέρον την επόμενη φορά.

Με πολύ χαρά θα τα περιμένουμε. Όχι ότι δεν μας ενδιαφέρουν τα απλά θέματα (ο ίδιος συχνά ποστάρω θέματα π.χ. Δημοτικού) όμως αυτό που αποφεύγουμε είναι θέματα πράξεων ρουτίνας με στάνταρ τεχνικές, χωρίς κάτι ελκυστικό.

J K · #5

Σαφώς όμως, αν κάποιος δεν βρίσκει ενδιαφέρον σε κάποια άσκηση, μπορεί να την προσπεράσει.

Ratio · #6

J K έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 05, 2019 7:30 pm
Σαφώς όμως, αν κάποιος δεν βρίσκει ενδιαφέρον σε κάποια άσκηση, μπορεί να την προσπεράσει.

Αν όμως ανεβάσετε άλλες δυο τρεις τέτοιες δεν θα βρίσκουμε ενδιαφέρον και στις αναρτήσεις σας. Συνεπώς ο επιστημονικός διάλογος και όχι μόνο χάνει την αξία του . Σωστά;

Christos.N · #7

Δηλαδή το

είναι ένας χώρος που έχει κριτές ως προς τι θα ήθελε κάποιος να ανεβάσει; Είναι ελιτίστικο;

Φίλε J K καλως ήρθες και ανεξάρτητα από την θεματολογία που επιλέγεις, να ανεβάζεις ότι σου αρέσει και θεωρείς ότι προάγει έναν φάκελο ή ένα θέμα, και σε περίπτωση που δεν δοθεί λύση- σε εύλογο χρονικό διάστημα- από κάποιον να την ανεβάσεις (όπως συστήνουν οι κανονισμοί) και αυτήν γιατί ξεσκουριάζουμε και εμείς που δεν βλέπουμε συχνά κάποια πράγματα.

Και πάλι καλώς ήρθες!

#8

Για να φανεί καθαρότερα τι εννοώ, ας έχει ο αναγνώστης στον νου του ότι μιλάμε για θεματολογία στον φάκελο Α.Ε.Ι.

Πώς θα κρίνατε ένα θέμα (σε αυτόν τον συγκεκριμένο φάκελο) που ουσιαστικά ζητά

α) να λυθεί η $\, -x^2+x=0$ και

β) να βρεθεί το $\int _0^1(x^4-2x^3+x^2)dx$ ;

Θα λέγατε ότι είναι θέμα ρουτίνας; Πάντα για τον φάκελο Α.Ε.Ι., και μάλιστα Γεωμετρίας, συζητάμε.

Νομίζω ότι κανένας δεν θα είχε την παραμικρή αμφιβολία για το αληθές της επισήμανσης, όπως ακριβώς έκανα παραπάνω για το αρχικό ποστ που αυτά τα ερωτήματα θέτει προς επίλυση.

Το αφήνω λοιπόν στην κρίση των αναγνωστών να αναλογιστούν αν η επισήμανση αυτή μπορεί να ερμηνευτεί ως

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 06, 2019 12:06 am
Δηλαδή το ... είναι ελιτίστικο;

.
Και ας μην ξεχνάμε ότι μόλις λίγες γραμμές παραπάνω ήμουν ξεκάθαρος

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 05, 2019 5:53 pm
Όχι ότι δεν μας ενδιαφέρουν τα απλά θέματα (ο ίδιος συχνά ποστάρω θέματα π.χ. Δημοτικού) όμως αυτό που αποφεύγουμε είναι θέματα πράξεων ρουτίνας με στάνταρ τεχνικές, χωρίς κάτι ελκυστικό.

.
Τέλος

J K έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 05, 2019 5:47 pm
Έντάξει! Θα ποστάρω θέμα με μεγαλύτερο ενδιαφέρον την επόμενη φορά.

Άριστη αυτή η οπτική. Την επικροτούμε.

#9

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 05, 2019 5:45 pm

J K έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 05, 2019 3:21 pm
Μια άσκηση για όποιον θέλει να περάσει ευχάριστα το χρόνο του...

Εεε όχι. To αντίθετο! Η άσκηση είναι θέμα ρουτίνας χωρίς κανένα ενδιαφέρον. Απλές πράξεις από έτοιμους τύπους, στάνταρ θέμα κάθε χρόνο π.χ. στο GCE.

Για παράδειγμα, στο α) έχουμε περιστροφή κάποιας $y = f(x) \ge 0$ (τμήμα παραβολής) με $0\le x \le 1$ . Εδώ τα είναι οι ρίζες της . Συνεπώς $\displaystyle{V=\pi \int _0^1 f^2(x)dx = \pi \int _0^1 (-x^2+x)^2dx }$ που είναι άμεσο ως ολοκλήρωμα πολυωνύμου. Θα βρούμε $\frac {\pi}{30}$ .

β) Κάνουμε ανάλογη εργασία για την περιστροφή γύρω από τον άξονα των με μόνη διαφορά ότι πρέπει να αντιστρέψουμε την συνάρτηση. Η συγκεκριμένη έχει το $x=\frac {1}{2}$ ως σημείο μεγίστου και μονοτονία εκατέρωθεν, και έτσι εργαζόμεστε χωριστά για το τμήμα με $0\le x \le \frac {1}{2}$ και χωριστά με το τμήμα για $\frac {1}{2}\le x \le 1$ . Με άλλα λόγια περιστρέφουμε πρώτα το τμήμα με $\frac {1}{2}\le x \le 1$ και μετά αφαιρούμε τον όγκο εκ περιστροφής για $0\le x \le \frac {1}{2}$ . Δεν αξίζει τον κόπο η πληκτρολόγηση.

γ) Καμία ουσιαστική διαφορά από το προηγούμενο. Απλά ο άξονας εκ περιστροφής πήγε μία μονάδα αριστερότερα.

Μιχάλη καλημέρα...

Για να συμπληρώσω τα ανωτέρω, παραθέτω και τα σχήματα των στερεών της δεύτερης περίπτωσης που γράφεις...

1ο σχήμα:

: Όγκος 1.png (38.61 KiB) Προβλήθηκε 1336 φορές

Μοιάζει με μια "ομηρική ασπίδα"!

2ο σχήμα

: Ογκος 2.png (44.21 KiB) Προβλήθηκε 1336 φορές

Μετά την αφαίρεση του δεύτερου στερεού.

3ο σχήμα

: Όγκος 3.png (52.56 KiB) Προβλήθηκε 1336 φορές

Από μια άλλη οπτική γωνία.

Κώστας Δόρτσιος

ΥΓ.
Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα όπου μπορείτε να δείτε την όλη
διαδικασία.

Στερεό εκ περιστροφής 1.ggb: (12.47 KiB) Μεταφορτώθηκε 30 φορές

Όγκος στερεού

Όγκος στερεού

Re: Όγκος στερεού

Re: Όγκος στερεού

Re: Όγκος στερεού

Re: Όγκος στερεού

Re: Όγκος στερεού

Re: Όγκος στερεού

Re: Όγκος στερεού

Re: Όγκος στερεού

Μέλη σε σύνδεση