Ερώτηση για ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο

brs · #1

Βρίσκω σε πανεπιστημιακό σύγγραμμα τον εξής ορισμό : Ο διανυσματικός χώρος $\mathbb{R}^{n}$ εφοδιασμένος με την Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ δύο σημείων ονομάζεται Ευκλείδειος χώρος και συμβολίζεται με $\mathbb{R}^{n}$ ή Ε.

Από τον ορισμό αυτό συμπεραίνω πως ο ν-διάστατος χώρος δεν είναι απαραίτητα Ευκλείδειος. Όμως, δεδομένου πως ο ν-διάστατος Ευκλείδειος χώρος συμβολίζεται επίσης ως $\mathbb{R}^{n}$ , τότε σε μια εκφώνηση του τύπου : Θεωρούμε ανοικτή μπάλα στον $\mathbb{R}^{n}$ κ.ο.κ., εμείς πώς γνωρίζουμε αν αναφέρεται στον Ευκλείδιο ν-διάστατο ή στον διανυσματικό χώρο $\mathbb{R}^{n}$ "γενικά"; Έχω μπλεχτεί λίγο, αν μπορεί κάποιος να τα ξεκαθαρίσει θα ήμουν υπόχρεος. Ευχαριστώ!

stranger · #2

Όταν λένε

-διάστατο ευκλειδιο χώρο εννοούν τον $\mathbb{R}^n$ .
Δεν υπάρχει καμία διαφορά ανάμεσα στον

-διάστατο Ευκλείδιο χώρο και στον διανυσματικό χώρο $\mathbb{R}^n$ .

#3

Θα διαφωνήσω με την απάντηση:
.

stranger έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 04, 2020 5:54 am
Όταν λένε -διάστατο ευκλειδιο χώρο εννοούν τον $\mathbb{R}^n$ .
Δεν υπάρχει καμία διαφορά ανάμεσα στον -διάστατο Ευκλείδιο χώρο και στον διανυσματικό χώρο $\mathbb{R}^n$ .

Έρχομαι στο ερώτημα:
.

brs έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 04, 2020 12:01 am
Βρίσκω σε πανεπιστημιακό σύγγραμμα τον εξής ορισμό : Ο διανυσματικός χώρος $\mathbb{R}^{n}$ εφοδιασμένος με την Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ δύο σημείων ονομάζεται Ευκλείδειος χώρος και συμβολίζεται με $\mathbb{R}^{n}$ ή Ε.

Από τον ορισμό αυτό συμπεραίνω πως ο ν-διάστατος χώρος δεν είναι απαραίτητα Ευκλείδειος. Όμως, δεδομένου πως ο ν-διάστατος Ευκλείδειος χώρος συμβολίζεται επίσης ως $\mathbb{R}^{n}$ , τότε σε μια εκφώνηση του τύπου : Θεωρούμε ανοικτή μπάλα στον $\mathbb{R}^{n}$ κ.ο.κ., εμείς πώς γνωρίζουμε αν αναφέρεται στον Ευκλείδιο ν-διάστατο ή στον διανυσματικό χώρο $\mathbb{R}^{n}$ "γενικά"; Έχω μπλεχτεί λίγο, αν μπορεί κάποιος να τα ξεκαθαρίσει θα ήμουν υπόχρεος. Ευχαριστώ!

Θα είμαι λίγο αναλυτικός.

Υπάρχουν πολλοί διανυσματικοί χώροι διάστασης

. Ένας από αυτούς είναι ο $\mathbb{R}^{n}$ . Υπόψη ότι η έννοια του διανυσματικού χώρου είναι αλγεβρική και ζητά να ικανοποιούνται ορισμένες ιδιότητες όπως u+v=v+u

, υπάρχει

, και λοιπά. Δεν υπάρχει λόγος να τις απαριθμήσω αλλά τονίζω μόνο ότι δεν απαιτείται η έννοια της απόστασης.

Τώρα, στην μελέτη μας των διανυσματικών χώρων μας βολεύει συχνά να τους εφοδιάσουμε με νόρμα ή, γενικότερα, απόστασης (μετρικής) για να γίνει Χώρος με νόρμα ή, γενικότερα, Μετρικός Χώρος. Στον $\mathbb{R}^{n}$ έχουμε πολλούς τρόπους για παράδειγμα μία νόρμα είναι η Ευκλείδεια, δηλαδή η

$\displaystyle{||u-v||_2=\sqrt { \sum_ {k=1}^n(u_k-v_k)^2}$ . Άλλη είναι η $\displaystyle{||u-v||_1= \sum_ {k=1}^n|u_k-v_k|}$ , μία τρίτη είναι η $\displaystyle{||u-v||_{\infty}=\max \{|u_k-v_k| : 1\le k \le n\}}$

Από αυτές η πρώτη είναι η πιο συνηθισμένη γιατί περιλαμβάνει τον τριδιάστατο χώρο που ζούμε. Τον $\mathbb{R}^{n}$ εφοδιασμένο με την ||.||_2

τον ονομάζουμε Ευκλείδειο χώρο.

Όταν για έναν χώρο χρησιμοποιήσουμε φράση (όπως γράφεις) "Θεωρούμε ανοικτή μπάλα", εξυπακούεται ότι έχουμε δηλώσει εκ των προτέρων με σαφήνεια ποια είναι η μετρική που εργαζόμαστε. Πολλές φορές, όμως, η δήλωση της μετρικής μπαίνει στα ευκόλως ενοούμενα, στα συμφραζόμενα. Στην Αριθμητική Ανάλυση για παράδειγμα, συχνά βλέπουμε να εργάζονται με την νόρμα ||.||_2

και για να μην δηλώνουν κάθε φορά την νόρμα, το λένε μια και έξω στην αρχή του βιβλίου ή του κεφαλαίου. Όταν λοιπόν χρησιμοποιείς τον $\mathbb{R}^{n}$ πρέπει να ξεκαθαρίζεις αν τον εννοείς με νόρμα και, σε αυτή την περίπτωση, ποια είναι η νόρμα. Άλλο το ένα, άλλο το άλλο.

brs · #4

Ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις!

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 04, 2020 7:47 am
Θα διαφωνήσω με την απάντηση:
.
stranger έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 04, 2020 5:54 am
Όταν λένε -διάστατο ευκλειδιο χώρο εννοούν τον $\mathbb{R}^n$ .
Δεν υπάρχει καμία διαφορά ανάμεσα στον -διάστατο Ευκλείδιο χώρο και στον διανυσματικό χώρο $\mathbb{R}^n$ .
Έρχομαι στο ερώτημα:
.
brs έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 04, 2020 12:01 am
Βρίσκω σε πανεπιστημιακό σύγγραμμα τον εξής ορισμό : Ο διανυσματικός χώρος $\mathbb{R}^{n}$ εφοδιασμένος με την Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ δύο σημείων ονομάζεται Ευκλείδειος χώρος και συμβολίζεται με $\mathbb{R}^{n}$ ή Ε.

Από τον ορισμό αυτό συμπεραίνω πως ο ν-διάστατος χώρος δεν είναι απαραίτητα Ευκλείδειος. Όμως, δεδομένου πως ο ν-διάστατος Ευκλείδειος χώρος συμβολίζεται επίσης ως $\mathbb{R}^{n}$ , τότε σε μια εκφώνηση του τύπου : Θεωρούμε ανοικτή μπάλα στον $\mathbb{R}^{n}$ κ.ο.κ., εμείς πώς γνωρίζουμε αν αναφέρεται στον Ευκλείδιο ν-διάστατο ή στον διανυσματικό χώρο $\mathbb{R}^{n}$ "γενικά"; Έχω μπλεχτεί λίγο, αν μπορεί κάποιος να τα ξεκαθαρίσει θα ήμουν υπόχρεος. Ευχαριστώ!
Θα είμαι λίγο αναλυτικός.

Υπάρχουν πολλοί διανυσματικοί χώροι διάστασης . Ένας από αυτούς είναι ο $\mathbb{R}^{n}$ . Υπόψη ότι η έννοια του διανυσματικού χώρου είναι αλγεβρική και ζητά να ικανοποιούνται ορισμένες ιδιότητες όπως , υπάρχει , και λοιπά. Δεν υπάρχει λόγος να τις απαριθμήσω αλλά τονίζω μόνο ότι δεν απαιτείται η έννοια της απόστασης.

Τώρα, στην μελέτη μας των διανυσματικών χώρων μας βολεύει συχνά να τους εφοδιάσουμε με νόρμα ή, γενικότερα, απόστασης (μετρικής) για να γίνει Χώρος με νόρμα ή, γενικότερα, Μετρικός Χώρος. Στον $\mathbb{R}^{n}$ έχουμε πολλούς τρόπους για παράδειγμα μία νόρμα είναι η Ευκλείδεια, δηλαδή η

$\displaystyle{||u-v||_2=\sqrt { \sum_ {k=1}^n(u_k-v_k)^2}$ . Άλλη είναι η $\displaystyle{||u-v||_1= \sum_ {k=1}^n|u_k-v_k|}$ , μία τρίτη είναι η $\displaystyle{||u-v||_{\infty}=\max \{|u_k-v_k| : 1\le k \le n\}}$

Από αυτές η πρώτη είναι η πιο συνηθισμένη γιατί περιλαμβάνει τον τριδιάστατο χώρο που ζούμε. Τον $\mathbb{R}^{n}$ εφοδιασμένο με την τον ονομάζουμε Ευκλείδειο χώρο.

Όταν για έναν χώρο χρησιμοποιήσουμε φράση (όπως γράφεις) "Θεωρούμε ανοικτή μπάλα", εξυπακούεται ότι έχουμε δηλώσει εκ των προτέρων με σαφήνεια ποια είναι η μετρική που εργαζόμαστε. Πολλές φορές, όμως, η δήλωση της μετρικής μπαίνει στα ευκόλως ενοούμενα, στα συμφραζόμενα. Στην Αριθμητική Ανάλυση για παράδειγμα, συχνά βλέπουμε να εργάζονται με την νόρμα και για να μην δηλώνουν κάθε φορά την νόρμα, το λένε μια και έξω στην αρχή του βιβλίου ή του κεφαλαίου. Όταν λοιπόν χρησιμοποιείς τον $\mathbb{R}^{n}$ πρέπει να ξεκαθαρίζεις αν τον εννοείς με νόρμα και, σε αυτή την περίπτωση, ποια είναι η νόρμα. Άλλο το ένα, άλλο το άλλο.

Είναι κατανοητό αυτό που λέτε. Σε περίπτωση όμως που δεν δηλώνεται ρητά η μετρική, ούτε καν δε αν ο $\mathbb{R}^{n}$ διαθέτει μετρική, τότε υποθέτουμε πως αναφέρεται στον Ευκλείδειο και χρησιμοποιούμε την Ευκλείδεια νόρμα; Έχω για παράδειγμα μπροστά μου την άσκηση-απόδειξη που ζητά να αποδείξουμε ότι μια ανοικτή μπάλα στον $\mathbb{R}^{n}$ είναι ανοικτό σύνολο. Εδώ πώς λειτουργούμε;

#5

brs έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 04, 2020 4:12 pm

Είναι κατανοητό αυτό που λέτε. Σε περίπτωση όμως που δεν δηλώνεται ρητά η μετρική, ούτε καν δε αν ο $\mathbb{R}^{n}$ διαθέτει μετρική, τότε υποθέτουμε πως αναφέρεται στον Ευκλείδειο και χρησιμοποιούμε την Ευκλείδεια νόρμα;

Όχι δεν μπορούμε να υποθέσουμε τίποτα για πράγματα που δεν δίνονται. Αυτό ισχύει για όλα τα Μαθηματικά! Αυτονόητο!

brs έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 04, 2020 4:12 pm
Έχω για παράδειγμα μπροστά μου την άσκηση-απόδειξη που ζητά να αποδείξουμε ότι μια ανοικτή μπάλα στον $\mathbb{R}^{n}$ είναι ανοικτό σύνολο. Εδώ πώς λειτουργούμε;

Εδώ, αφού η άσκηση μιλάει για ανοικτή μπάλα, σημαίνει ότι βρισκόμαστε σε Μετρικό Χώρο. Αλλιώς δεν έχει καν νόημα η φράση "μπάλα". Αυτονόητο και αυτό. Από κει και πέρα ΔΕΝ μπορείς να υποθέσεις ότι έχεις μία συγκεκριμένη μετρική (π.χ. την Ευκλείδεια). Απλά θα αποδείξεις το ζητούμενο για οποιαδήποτε μετρική.

Πρόκειται για απλή άσκηση με βάση την τριγωνική ανισότητα και που υπάρχει λυμένη σε όλα τα βιβλία Μετρικών Χώρων.

Ποιο είναι το βιβλίο που ακολουθείς; Το διάβασες με προσοχή; Πες μας την παραπομπή για να δούμε και εμείς.

Επίσης, θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου στο ερώτημα.

brs · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 04, 2020 5:04 pm

brs έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 04, 2020 4:12 pm

Είναι κατανοητό αυτό που λέτε. Σε περίπτωση όμως που δεν δηλώνεται ρητά η μετρική, ούτε καν δε αν ο $\mathbb{R}^{n}$ διαθέτει μετρική, τότε υποθέτουμε πως αναφέρεται στον Ευκλείδειο και χρησιμοποιούμε την Ευκλείδεια νόρμα;
Όχι δεν μπορούμε να υποθέσουμε τίποτα για πράγματα που δεν δίνονται. Αυτό ισχύει για όλα τα Μαθηματικά! Αυτονόητο!

brs έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 04, 2020 4:12 pm
Έχω για παράδειγμα μπροστά μου την άσκηση-απόδειξη που ζητά να αποδείξουμε ότι μια ανοικτή μπάλα στον $\mathbb{R}^{n}$ είναι ανοικτό σύνολο. Εδώ πώς λειτουργούμε;
Εδώ, αφού η άσκηση μιλάει για ανοικτή μπάλα, σημαίνει ότι βρισκόμαστε σε Μετρικό Χώρο. Αλλιώς δεν έχει καν νόημα η φράση "μπάλα". Αυτονόητο και αυτό. Από κει και πέρα ΔΕΝ μπορείς να υποθέσεις ότι έχεις μία συγκεκριμένη μετρική (π.χ. την Ευκλείδεια). Απλά θα αποδείξεις το ζητούμενο για οποιαδήποτε μετρική.

Πρόκειται για απλή άσκηση με βάση την τριγωνική ανισότητα και που υπάρχει λυμένη σε όλα τα βιβλία Μετρικών Χώρων.

Ποιο είναι το βιβλίο που ακολουθείς; Το διάβασες με προσοχή; Πες μας την παραπομπή για να δούμε και εμείς.

Επίσης, θα χαρούμε να δούμε εδώ την λύση σου στο ερώτημα.

To βιβλίο που ακολουθώ είναι το "Μαθηματικά ΙΙ" του Θ. Ρασσιά. Ναι, έτσι όπως το θέτετε, αν η έννοια της ανοικτής μπάλας συνεπάγεται το ότι ο χώρος είναι μετρικός, η άσκηση λύνεται για κάθε μετρική :

Θεωρούμε την ανοικτή μπάλα $B_{1}(K,r)$ και το τυχαίο της σημείο Μ. Για να δείξω ότι η $B_{1}$
είναι ανοικτό σύνολο, αρκεί να δείξω ότι για το τυχαίο της σημείο Μ, υπάρχει ανοικτή μπάλα $B_{2}(M,r_{1})$ , η οποία να περιέχεται στη $B_{1}$ . Με άλλα λόγια, αρκεί να δείξω ότι d(K,N)<r

, όπου N τυχαίο σημείο της $B_{2}$ .

Έστω $r=d(K,M)+r_{1}$ (1)

Ο χώρος είναι μετρικός. Επομένως ισχύει :

$d(K,N)\leq d(K,M)+d(M,N)$

Όμως : $d(M,N)< r_{1}$ , εφόσον η $B_{2}$ είναι ανοικτή μπάλα.

Άρα : $d(K,N)< d(K,M)+r_{1}$

Από την (1) λαμβάνουμε ότι d(K,N)<r

Επομένως, η τυχαία ανοικτή μπάλα $B_{1}$ του $\mathbb{R}^{n}$ είναι ανοικτό σύνολο.

Ευχαριστώ πολύ για τη βοήθεια!

#7

Το μόνο σχόλιο που έχω είναι ότι πλατειάζεις κάπως. Μπορείς να γράψεις τα ίδια με τα μισά λόγια, που για φοιτητή Θετικών Επιστημών, είναι πλεονέκτημα.

Ερώτηση για ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο

Ερώτηση για ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο

Re: Ερώτηση για ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο

Re: Ερώτηση για ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο

Re: Ερώτηση για ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο

Re: Ερώτηση για ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο

Re: Ερώτηση για ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο

Re: Ερώτηση για ν-διάστατο Ευκλείδειο χώρο

Μέλη σε σύνδεση