Ασύμβατες ευθείες

#1

́Έστω οι ευθείες:

$\displaystyle{\epsilon_1 : \ \frac{x}{2}=\frac{y − 1}{2}= z}$ και $\displaystyle{\epsilon_2 : \ \frac{x − 1}{2}=\frac{y − 2}{3}=\frac{z − 3}{4}}$

και το σημείο A = (1, 0, 2).

Να δείξετε ότι οι $\epsilon_1$ και $\epsilon_2$ είναι ασύμβατες και να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το

και τέμνει τις $\epsilon_1$ και $\epsilon_2.$

#2

socrates έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 08, 2020 3:35 pm
́Έστω οι ευθείες:

$\displaystyle{\epsilon_1 : \ \frac{x}{2}=\frac{y − 1}{2}= z}$ και $\displaystyle{\epsilon_2 : \ \frac{x − 1}{2}=\frac{y − 2}{3}=\frac{z − 3}{4}}$

και το σημείο
Να δείξετε ότι οι $\epsilon_1$ και $\epsilon_2$ είναι ασύμβατες και να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το και τέμνει τις $\epsilon_1$ και $\epsilon_2.$

α) Οι ευθείες είναι οι $(2t,2t+1,t), (2s+1,3s+2,4s+3), \, t,s\in \mathbb R$ , αντίστοιχα. Δεν είναι παράλληλες γιατί η πρώτη είναι παράλληλη του (2,2,1)

και η δεύτερη του (2,3,4)

, που δεν είναι πολλαπλάσιο του άλλου. Επίσης οι ευθείες δεν τέμνονται γιατί αυτό θα απαιτούσε για κάποια t,s

να ισχύει

$\displaystyle{2t=2s+1, 2t+1=3s+2, t=4s+3}$ . Οι δύο πρωτες δίνουν t=1/2, s=0

, που όμως δεν ικανοποιεί την τρίτη. Άρα οι ευθείες είναι ασύμβατες.

β) Έστω ότι η ζητούμενη ευθεία μέσω του

, τέμνει τις ευθείες στα B(2t,2t+1,t), C(2s+1,3s+2,4s+3)

. Τότε για κάποιο $a\in \mathbb R$ θα είχαμε

$\displaystyle{\vec{OA}+a\vec{AB} \in \epsilon _2}$ οπότε

$\displaystyle{ 1+a(2t-1)=2s+1,a(2t+1)=3s+2,2+a(t-2)=4s+3}}$

Λύνοντας, θα βρούμε (αν έκανα σωστά τις πράξεις αλλά δεν έχει και ιδιαίτερη σημασία) ότι a = 2/3, t = -1/2, s = -2/3

. Δηλαδή το σημείο της $\epsilon _1$ από το οποίο διέρχεται η ζητούμενη ευθεία είναι το (2t,2t+1,t)=(-1, 0, 1/2)

.

Tώρα η ζητούμενη ευθεία είναι αυτή που διέρχεται από τα A (1, 0, 2), B(-1, 0, 1/2)

που είναι άμεση. Π.χ. παραμετρικά με παράμετρο την

είναι η $\displaystyle{\vec{OA}+a\vec{AB}}$ , δηλαδή (x,y,z) = (1+a(2t-1),a(2t+1),2+a(t-2)) =(1-2a, 0,2-5a/2)

#3

socrates έγραψε: ↑
Τρί Σεπ 08, 2020 3:35 pm
́Έστω οι ευθείες:

$\displaystyle{\epsilon_1 : \ \frac{x}{2}=\frac{y − 1}{2}= z}$ και $\displaystyle{\epsilon_2 : \ \frac{x − 1}{2}=\frac{y − 2}{3}=\frac{z − 3}{4}}$

και το σημείο
Να δείξετε ότι οι $\epsilon_1$ και $\epsilon_2$ είναι ασύμβατες και να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το και τέμνει τις $\epsilon_1$ και $\epsilon_2.$

Καλησπέρα..

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Ασύμβατες ευθείες 1.png (28.23 KiB) Προβλήθηκε 1787 φορές

Θεωρούμε το επίπεδο που διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{A=(1,0,2)}$ και το οποίο διέρχεται από την ευθεία $\displaystyle{e_1}$ .

Το επίπεδο αυτό θα είναι της μορφής:

$\displaystyle{Ax+By+Cz+D=0\ \ (1)}$

και από τις συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle{A}$ και τη μορφή της εξίσωσης της ευθείας $\displaystyle{e_1}$ εύκολα
αποδείχνεται ότι θα είναι:

$\displaystyle{5x-3y-4z+3=0 \ \ (2)}$

Στη συνέχεια βρίσκουμε την τομή του επιπέδου αυτού και της ευθείας $\displaystyle{e_2}$ η οποία θα είναι το σημείο:

$\displaystyle{S=(-\frac{1}{3},0,\frac{1}{3}) }$

Επειδή το σημείο αυτό δεν ανήκει στην ευθεία $\displaystyle{e_1}$ άρα οι $\displaystyle{e_1, e_2}$ είναι ασύμβατες.

Έτσι η ευθεία που ζητούμε είναι η $\displaystyle{AS}$ και η οποία θα έχει την εξίσωση:

$\displaystyle{ AS: 5x-4z=-3 \ \ (3)}$

Η ευθεία αυτή θα τέμνει οπωσδήποτε την ευθεία $\displaystyle{e_1}$ γιατί αυτές οι ευθείες ως ευθείες του αυτού επιπέδου
γενικά θα τέμνονται.

Εύκολα βρίσκεται και το σημείο τομής αυτών $\displaystyle{T=(-1,0, -\frac{1}{2})}$

Παρατήρηση:
Η ευθεία $\displaystyle{AS}$ ανήκει ακόμα στο επίπεδο $\displaystyle{xOz}$

Σημείωση:
Το πρόβλημα αυτό μπορεί να λυθεί εύκολα με λογισμικό. Όμως στην προκειμένη περίπτωση
λύθηκε κανονικά με μολύβι και χαρτί και τα αποτελέσματα(τα οποία δεν έγραψα) εισήχθηκαν στο λογισμικό κι έτσι
υπήρξε απόλυτη συμφωνία.

Κώστας Δόρτσιος

Ασύμβατες ευθείες

Ασύμβατες ευθείες

Re: Ασύμβατες ευθείες

Re: Ασύμβατες ευθείες

Μέλη σε σύνδεση