Έγκεντρα παράκεντρα όλα ομοκυκλικά

Al.Koutsouridis · #1

Δίνεται τρίγωνο ABC

και

διάμεσός του. Έστω I_B

το έγκεντρο του τριγώνου ABM

και

το κέντρο του παρεγγεγραμμένου κύκλου του, εφαπτόμενου στην

.Ομοίως

το έγκεντρο του τριγώνου ACM

και

το κέντρο του παρεγγεγραμμένου κύκλου του, εφαπτόμενου στην

. Να αποδείξετε ότι τα σημεία I_B, I_C, J_B, J_C

είναι ομοκυκλικά.

: omokuklika_egkentra_parakentra.PNG (21.35 KiB) Προβλήθηκε 1240 φορές

gavrilos · #2

Καλημέρα κύριε Κουτσουρίδη.Πολύ ωραία άσκηση.

Λήμμα: Σε τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\hat{C}}$ και η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\hat{B}}$ σχηματίζουν γωνία $\displaystyle{\frac{\hat{A}}{2}}$ .

Απόδειξη: Είναι $\displaystyle{\hat{BDC}=180-\hat{DBC}-\hat{DCB}=180-\left(\hat{B}+90-\frac{\hat{B}}{2}}\right)-\frac{\hat{C}}{2}=90-\frac{\hat{B}}{2}-\frac{\hat{C}}{2}=\frac{\hat{A}}{2}}$ .

: Γεωμετρια mathematica_99(1).PNG (5.61 KiB) Προβλήθηκε 1181 φορές

$\rule{420pt}{1pt}$

: Γεωμετρια mathematica_99(2).PNG (21.36 KiB) Προβλήθηκε 1181 φορές

Πίσω στο πρόβλημά μας τώρα,σύμφωνα με το παραπάνω λήμμα θα ισχύει $\displaystyle{\hat{BJ_{B}I_{B}}=\frac{\hat{BAM}}{2}=\hat{BAI_{B}}$ επομένως το τετράπλευρο $\displaystyle{AI_{B}BJ_{B}}$ είναι εγγράψιμο.

Έστω $\displaystyle{E}$ το κοινό σημείο του περιγγεγραμμένου του κύκλου με την $\displaystyle{BC}$ .

Το θεώρημα δύναμης σημείου ως προς κύκλο δίνει $\displaystyle{MB\cdot ME=MI_{B}\cdot MJ_{B} \ \bf \color{red} (1)}$ .

Τα τρίγωνα $\displaystyle{MEI_{B},MAI_{B}}$ έχουν την $\displaystyle{MI_{B}}$ κοινή, $\displaystyle{\hat{EMI_{B}}=\hat{AMI_{B}}$ και ισχύει $\displaystyle{\hat{MEI_{B}}=\hat{BAI_{B}}=\hat{MAI_{B}}$ .

Έχουν δηλαδή μια πλευρά κοινή και δύο γωνίες ίσες μια προς μία.Επομένως θα είναι ίσες και οι τρίτες τους γωνίες,επομένως από το κριτήριο Γ-Π-Γ παίρνουμε ότι είναι ίσα.

Επομένως $\displaystyle{ME=AM}$ οπότε η $\displaystyle{\bf \color{red} (1)}$ γίνεται $\displaystyle{MB\cdot AM=MI_{B}\cdot MJ_{B} \ \bf \color{blue} (2)}$ .

Από το λήμμα παίρνουμε ότι και το τετράπλευρο $\displaystyle{AI_{C}CJ_{C}}$ είναι εγγράψιμο.Θεωρούμε το κοινό σημείο $\displaystyle{Z}$ του περιγγεγραμμένου του κύκλου με την ευθεία $\displaystyle{BC}$ .

Το θεώρημα δύναμης σημείου ως προς κύκλο δίνει $\displaystyle{MC\cdot MZ=MI_{C}\cdot MJ_{C} \ \bf \color{green} (3)}$ .Όμοια με πριν,βρίσκουμε ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{MI_{C}Z,MI_{C}A}$ είναι ίσα.

Επομένως $\displaystyle{MZ=AM}$ οπότε η $\displaystyle{\bf \color{green} (3)}$ γίνεται $\displaystyle{MC\cdot AM=MI_{C}\cdot MJ_{C}}$ .

Όμως τώρα λόγω του ότι $\displaystyle{MB=MC}$ η $\displaystyle{\bf \color{blue} (2)}$ δίνει $\displaystyle{MI_{B}\cdot MJ_{B}=MI_{C}\cdot MJ_{C}}$ δηλαδή το τετράπλευρο $\displaystyle{I_{B}I_{C}J_{C}J_{B}}$ είναι εγγράψιμο που είναι το ζητούμενο.

Al.Koutsouridis · #3

Ευχαριστώ Gavrilos για την ενασχόληση και την ωραία λύση.

Υγ. Η άσκηση είναι από το περιοδικό Kvant (τεύχος 2 του 2012) αλλά να υποθέσω θα συναντάται και αλλού.

Έγκεντρα παράκεντρα όλα ομοκυκλικά

Έγκεντρα παράκεντρα όλα ομοκυκλικά

Re: Έγκεντρα παράκεντρα όλα ομοκυκλικά

Re: Έγκεντρα παράκεντρα όλα ομοκυκλικά

Μέλη σε σύνδεση