Γεωμετρικός Λόγος

Ορέστης Λιγνός · #1

: logos.png (8.5 KiB) Προβλήθηκε 657 φορές

Έστω

η εσωτερική διχοτόμος τριγώνου ABC

,

το συμμετρικό του

ως προς το μέσο

της

και σημείο

της

, τέτοιο ώστε $\hat{BAZ}=\hat{EAC}$ .

Να αποδείξετε ότι $\dfrac{BZ}{ZC}=\dfrac{c^3}{b^3}$ , όπου b,c

οι πλευρές AC,AB

του τριγώνου ABC

αντίστοιχα.

Δεν έχω λύση.

#2

Ορέστης Λιγνός έγραψε:logos.png

Έστω η εσωτερική διχοτόμος τριγώνου , το συμμετρικό του ως προς το μέσο της και σημείο της , τέτοιο ώστε $\hat{BAZ}=\hat{EAC}$ .

Να αποδείξετε ότι $\dfrac{BZ}{ZC}=\dfrac{c^3}{b^3}$ , όπου οι πλευρές του τριγώνου αντίστοιχα.

Δεν έχω λύση.

Γεια σου και πάλι, Ορέστη!

: Γεωμετρικός λόγος.png (13.14 KiB) Προβλήθηκε 636 φορές

Επειδή $\hat{BAZ}=\hat{EAC}$ , από το θεώρημα του Steiner

θα είναι: $\boxed{\frac{{BZ}}{{ZC}} \cdot \frac{{BE}}{{EC}} = \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}}}$ (1)

Αλλά, $\displaystyle{\frac{{BE}}{{EC}} = \frac{{\frac{a}{2} + ME}}{{\frac{a}{2} - ME}} = \frac{{\frac{a}{2} + DM}}{{\frac{a}{2} - DM}} = \frac{{DC}}{{BD}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\frac{{BE}}{{EC}} = \frac{b}{c}}$ (2)

Από τις σχέσεις (1), (2)

προκύπτει άμεσα το ζητούμενο.

STOPJOHN · #3

Ορέστης Λιγνός έγραψε:logos.png

Έστω η εσωτερική διχοτόμος τριγώνου , το συμμετρικό του ως προς το μέσο της και σημείο της , τέτοιο ώστε $\hat{BAZ}=\hat{EAC}$ .

Να αποδείξετε ότι $\dfrac{BZ}{ZC}=\dfrac{c^3}{b^3}$ , όπου οι πλευρές του τριγώνου αντίστοιχα.

Δεν έχω λύση.

Καλησπέρα ,Ορέστη και Γιώργο

Θα χρησιμοποιήσω το λήμμα (είναι γνωστό ,αλλα θα το αποδείξω )
Λήμμα
Σε τρίγωνο ABC

με τα σημεία Z,E

στην πλευρά

είναι $\hat{BAZ}=\hat{EAC}\Leftrightarrow \dfrac{ZB}{ZC}=\dfrac{c^{2}}{b^{2}}\dfrac{EC}{BE}$
Συνεπως αρκεί να αποδειχθεί ότι $\dfrac{EC}{EB}=\dfrac{c}{b},(*)$

Είναι $BD=\dfrac{ac}{c+b},DC=\dfrac{ba}{c+b},x=DM=ME,x=\dfrac{a}{2}-BD=a.\dfrac{b-c}{2(b+c)},(1), EC=\dfrac{a}{2}-x=BD=\dfrac{ac}{b+c},(2), BE=BD+2x=\dfrac{ab}{b+c},(3), (2),(3)\Rightarrow \dfrac{EC}{BE}=\dfrac{c}{b},(*)$

Γιάννης
Η απόδειξη του λήμματος αύριο

STOPJOHN · #4

Kαλημέρα
Λήμμα
Στο τρίγωνο ABC

τα σημεία

είναι στην πλευρά

και ισχύει $\hat{BAP}=\hat{QAC}$ Θα δειχθεί ότι
$\dfrac{c^{2}}{b^{2}}=\dfrac{BP}{PC}.\dfrac{BQ}{QC}$ . Ισχύει και το αντίστροφο
Ευθύ
Είναι $\hat{BAP}=\hat{QAC}. \dfrac{BP}{PC}=\dfrac{(ABP)}{(APC)},(1), \dfrac{BQ}{QC}=\dfrac{(ABQ)}{(AQC)},(2), (1),(2)\Rightarrow \dfrac{BP}{PC}.\dfrac{BQ}{QC}=\dfrac{(ABP)(ABQ)}{(APC)(AQC)},(*) \dfrac{(ABQ)}{APC}=\dfrac{AQ}{AP}\dfrac{c}{b},(3), \dfrac{(ABP)}{(AQC)}=\dfrac{c}{b}\dfrac{AP}{AQ},(4), (3),(4)\Rightarrow \dfrac{(ABQ)(ABP)}{(APC)(AQC)}=\dfrac{c^{2}}{b^{2}},(**),$

Από (*),(**)

έχουμε το συμπέρασμα

Το αντίστροφο είναι παρόμοιο

Γιάννης

mathematica.gr

Γεωμετρικός Λόγος

Γεωμετρικός Λόγος

Re: Γεωμετρικός Λόγος

Re: Γεωμετρικός Λόγος

Re: Γεωμετρικός Λόγος

Μέλη σε σύνδεση