Υποθαλάσσιο Παραλληλόγραμμο!

[Ορέστης Λιγνός]

Στις πλευρές τριγώνου κατασκευάζουμε ισοσκελή όμοια τρίγωνα () , () και (, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να δείξετε ότι το είναι παραλληλόγραμμο.

paralilogramo.png (18.85 KiB) Προβλήθηκε 4292 φορές

Υ.Γ. Προτάθηκε από το Βέλγιο (Κάτω χώρες - από εκεί και ο τίτλος του θέματος ) στην 24η Δ.Μ.Ο.

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Από τα αρχικά όμοια ισοσκελή τρίγωνα ισχύει ότι: και . Άρα τα τρίγωνα και είναι όμοια, γιατί έχουν δυο πλευρές ανάλογες και την περιεχόμενη γωνία ίση. Με ανάλογο τρόπο προκύπτει ότι και τo τρίγωνο είναι όμοιο με το .

Έστω , και . Τότε προκύπτει ότι , , άρα είναι το παραλληλόγραμμο.


Υ.Γ. Επειδή οι γωνίες δεν είναι ακριβώς ίδιες σε περίπτωση που το το είναι εντός τριγώνου, δουλεύουμε με "παρόμοιο" τρόπο με τις γωνίες.

[harrisp]

Λίγο διαφορετικά απο τον Διονύση. Ισχύει . Απο τα όμοια PBR και ABC παίρνουμε συνεπώς και όμοια και το ζητούμενο επεται.