Ορθογώνιο τραπέζιο και καθετότητα

#1

Σε ένα ορθογώνιο τραπέζιο ΑΒΓΔ οι γωνίες Α και Δ είναι ορθές. Έστω σημείο Ε στην ΑΔ. Οι κάθετες από τα Α,Δ προς τις ΓΕ,ΒΕ αντίστοιχα τέμνονται στο Ζ. Να αποδειχθεί ότι η ΖΕ είναι κάθετη στην ΒΓ.

Μπάμπης

#2

Αφού την ετοίμασα ας δώσω τη λύση με την Αναλυτική Γεωμετρία, αλλά πρέπει να ομολογήσω ότι ΔΕΝ μού αρέσει. Πιστεύω ότι ισοπεδώνονται οι ασκήσεις με τον μονότονο τρόπο που αντιμετωπίζονται με τα εργαλεία της Αναλυτικής Γεωμετρίας.
Πάντως η ισχύς των εργαλείων αυτών είναι εμφανής και είναι ένα ισχυρό όπλο στα χέρια των διαγωνιζόμενων.

Δανείζομαι το σχήμα του Μπάμπη.

: 14-1-2011 Γεωμετρία.jpg (13.34 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με κέντρο Δ(0, 0) παίρνουμε τα σημεία
Γ(α, 0), Β(β, 1), Α(0, 1) και Ε(0, γ) με α > 0, β > 0 και 0 < γ < 1.

Είναι: $\displaystyle \lambda _{\overrightarrow {\Gamma {\rm E}} } = - \frac{\gamma }{\alpha }$ , οπότε η κάθετη (ε) από το Α στη ΓΕ έχει εξίσωση: $\displaystyle y = \frac{\alpha }{\gamma }x + 1$ (1)

Είναι: $\displaystyle \lambda _{\overrightarrow {{\rm B}{\rm E}} } = \frac{{1 - \gamma }}{\beta }$ , οπότε η κάθετη (ζ) από το Δ στη ΒΕ έχει εξίσωση: $\displaystyle y = \frac{\beta }{{\gamma - 1}}x$ (2)

Η λύση του συστήματος των (1), (2) δίνει τις συντεταγμένες του Ζ, σημείου τομής των ευθειών (ε) και (ζ).

Είναι: $\displaystyle {\rm Z}\left( {\frac{{\gamma \left( {1 - \gamma } \right)}}{{\alpha \gamma - \alpha - \beta \gamma }},\;\frac{{ - \beta \gamma }}{{\alpha \gamma - \alpha - \beta \gamma }}} \right)$ ,

οπότε $\displaystyle \lambda _{\overrightarrow {{\rm Z}{\rm E}} } = \frac{{ - \frac{{\beta \gamma }}{{\alpha \gamma - \alpha - \beta \gamma }} - \gamma }}{{\frac{{\gamma \left( {1 - \gamma } \right)}}{{\alpha \gamma - \alpha - \beta \gamma }}}} = \frac{{ - \beta \gamma - \alpha \gamma ^2 + \alpha \gamma + \beta \gamma ^2 }}{{\gamma \left( {1 - \gamma } \right)}} = \\ \\ =\frac{{ - \beta \gamma \left( {1 - \gamma } \right) + \alpha \gamma \left( {1 - \gamma } \right)}}{{\gamma \left( {1 - \gamma } \right)}} = \alpha - \beta$

Είναι: $\displaystyle \lambda _{\overrightarrow {\Gamma {\rm B}} } = \frac{1}{{\beta - \alpha }}$ , οπότε η ΖΕ είναι κάθετη στην ΒΓ.

Γιώργος Ρίζος

#3

Από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΕΒ, ΕΘΔ και των ΑΕΗ,ΕΔΓ παίρνουμε ότι ΗΕ/ΕΔ = ΕΑ /ΕΓ και ΑΕ/ΕΘ=ΕΒ/ΕΔ
Από τις δύο αυτές έχουμε ότι ΕΗ $\cdot$ EΓ=ΕΒ $\cdot$ EΘ. Άρα το ΗΘΓΒ είναι εγγράψιμο και άρα
$\angle{}$ HΓΒ= $\angle{}$ HΘΒ= $\angle{}$ HΖΕ. Η τελευταία όμως δίνει ότι το ΗΖΓΣ είναι εγγράψιμο (όπου Σ το σημείο τομής της ΖΕ με τη ΒΓ). Και έχουμε το ζητούμενο.

ΥΓ. Ελπίζω να είναι μια καλή λύση και με συγχωρείτε που δεν έγραψα σε LaTex αλλά τα ελληνικά είναι μπελάς.

chris · #4

Ωραία Sil!!Εμένα μου έρχονται μετρικές σχέσεις...

Δηλαδή:
Απο τα εγγράψιμα $AH\Delta \Gamma$ και $AB\Delta \Theta$ είναι $E\Gamma \cdot EH=EA\cdot ED=EB\cdot E \Theta$ κτλ..

#5

Και μια λύση με διανυσματικό λογισμό.

Αρκεί να δείξουμε ότι
$\vec{ZE}.\vec{B\Gamma }=0 (1)$
Το πρώτο μέλος της (1) γράφεται:
$\vec{ZE}.\vec{B\Gamma }=\vec{ZE}.(\vec{BE}+\vec{E\Gamma })=\vec{ZE}.\vec{BE}+\vec{ZE}.\vec{E\Gamma }$
και κάνοντας χρήση την πρόταση του εσωτερικού γινομένου με τη χρήση προβολών,
η τελευταία σχέση γίνεται:
$\vec{ZE}.\vec{B\Gamma }=\vec{\Theta E}.\vec{BE}+\vec{HE}.\vec{E\Gamma }=\vec{\Delta E}.\vec{BE}+\vec{AE}.\vec{E\Gamma }=\vec{\Delta E}.\vec{AE}+\vec{AE}.\vec{E\Delta }=0$
Άρα η (1) ισχύει και συνεπώς η ΖΕ κάθετη στην ΒΓ.

Ορθογώνιο τραπέζιο και καθετότητα

Ορθογώνιο τραπέζιο και καθετότητα

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο και καθετότητα

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο και καθετότητα

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο και καθετότητα

Re: Ορθογώνιο τραπέζιο και καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση