Εμβαδό=2*Περίμετρο

PanosG · #1

Αποδείξτε ότι υπάρχουν ακριβώς τρια ορθογώνια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές για τα οποία το εμβαδό τους ισούται με το διπλάσιο της περιμέτρου τους.

#2

PanosG έγραψε:Αποδείξτε ότι υπάρχουν ακριβώς τρια ορθογώνια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές για τα οποία το εμβαδό τους ισούται με το διπλάσιο της περιμέτρου τους.

Μια λύση:

Ας είναι $\displaystyle{a,b,c}$ οι πλευρές του τριγώνου, με $\displaystyle{a}$ την υποτείνουσα. Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε τότε

$\displaystyle{a^2=b^2+c^2}$ (1)

και

$\displaystyle{\frac{1}{2}bc=2(a+b+c) \Rightarrow bc=4(a+b+c)\Rightarrow bc-4(b+c)=4a ,}$

οπότε με ύψωση στο τετράγωνο και χρήση της (1) φτάνουμε στην $\displaystyle{8(b+c)=bc+32}$ (2).

Υποθέτουμε ότι $\displaystyle{b\geq c}$ , οπότε λόγω της (2) βρίσκουμε $\displaystyle{16b\geq 8(b+c)\geq b^2+32}$ δηλαδή

$\displaystyle{|b-8|\leq 5}$ και επειδή ο $\displaystyle{b}$ είναι θετικός ακέραιος έχουμε $\displaystyle{b=3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13.}$

Μάλιστα, επειδή η (2) γράφεται ως $\displaystyle{8(b-4)=c(b-8)}$ , έχουμε να εξετάσουμε μόνο τις περιπτώσεις

$\displaystyle{b=3,9,10,11,12,13.}$

Με δοκιμές διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν οι κάτωθι 3 δυνατότητες:

$\displaystyle{b=9,c=40,a=41}$

$\displaystyle{b=10,c=24, a=26}$ και

$\displaystyle{b=12,c=16,a=20.}$

Εμβαδό=2*Περίμετρο

Εμβαδό=2*Περίμετρο

Re: Εμβαδό=2*Περίμετρο

Μέλη σε σύνδεση