Τρίγωνο

#1

Θεωρούμε τρίγωνο $AB\Gamma$ με πλευρές α,β,γ και $\widehat{B}=2\widehat{\Gamma}$

Να αποδείξετε ότι: $\beta^{2}=\gamma \cdot(\gamma + \alpha)$

zorba_the_freak · #2

Προεκτείνουμε την ΑΒ κατά ΒΕ=ΒΓ. Επειδή $\widehat{\Gamma}=\widehat{2B}=\widehat{E},$ o περιγεγραμμένος κύκλος του ΒΕΓ, εφάπτεται της ΑΓ στο Γ. Οπότε $A\Gamma^2=AB\cdot AE.$

#3

Aρκεί να δείξουμε ότι: $\displaystyle{\displaystyle \beta ^2 - \gamma ^2 = \alpha \gamma }$ .
Έχουμε :
$\displaystyle{\displaystyle \beta ^2 - \gamma ^2 = \left( {\beta - \gamma } \right)\left( {\beta + \gamma } \right) = \left( {2R\sin B - 2R\sin \Gamma } \right)\left( {2R\sin B + 2R\sin \Gamma } \right) = 4R^2 \left( {\sin B - \sin \Gamma } \right)\left( {\sin B + \sin \Gamma } \right) = 4R^2 \cdot 2\sin \frac{{{\rm B} - \Gamma }} {2}\cos \frac{{{\rm B} + \Gamma }} {2} \cdot 2\sin \frac{{{\rm B} + \Gamma }} {2}\cos \frac{{{\rm B} - \Gamma }} {2}\mathop = \limits^{{\rm B} = 2\Gamma } 4R^2 \cdot 2\sin \frac{\Gamma } {2}\cos \frac{\Gamma } {2} \cdot 2\sin \frac{{3\Gamma }} {2} \cdot \cos \frac{{3\Gamma }} {2} = 4R^2 \sin \Gamma \sin 3\Gamma (1) }$

Επιπλέον :
$\displaystyle{\displaystyle \hat A + \hat B + \hat \Gamma = 180^0 \mathop \Rightarrow \limits^{{\rm B} = 2\Gamma } \hat A = 180^0 - 3\hat \Gamma \Rightarrow \sin \hat {\rm A} = \sin 3\hat \Gamma (2) }$

Έχουμε
$\displaystyle{\displaystyle \alpha \gamma = 2R\sin \hat A \cdot 2R\sin \hat \Gamma \mathop = \limits^{\left( 2 \right)} 4R^2 \sin 3\hat \Gamma \sin \hat \Gamma (3) }$
Απο (1) και (3) προκύπτει η ισότητα..

R: ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου.

zorba_the_freak · #4

Άλλος τρόπος:
Αν ΒΔ η διχοτόμος της γωνίας Β, τότε τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΓ είναι όμοια. Οπότε:
$\displaystyle\frac{AB}{A\Gamma}=\frac{A\Delta}{AB}=\frac{B\Delta}{B\Gamma}$
Επειδή ΒΔ=ΓΔ, έχουμε:
$\displaystyle\frac{\gamma}{\beta}=\frac{A\Delta+\Gamma\Delta}{\gamma+\alpha},$ άρα $\displaystyle\frac{\gamma}{\beta}=\frac{\beta}{\gamma+\alpha}$

#5

joulia1961 έγραψε:Θεωρούμε τρίγωνο $AB\Gamma$ με πλευρές α,β,γ και $\widehat{B}=2\widehat{\Gamma}$

Να αποδείξετε ότι: $\beta^{2}=\gamma \cdot(\gamma + \alpha)$

Ως ειδική περίπτωση της άσκησης αυτής έχουμε:
Έστω ΑΒΓΔΕ κανονικό πεντάγωνο.
α. Η διαγώνιος δ και η πλευρά α του κανονικού πενταγώνου συνδέονται με την σχέση $\delta ^{2}=\alpha ^{2}+\alpha \delta$ .
β. Έστω Ζ το σημείο τομής των διαγωνίων ΑΔ και ΒΕ. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΒΖΔ εφάπτεται των ΑΒ και ΕΔ

p_gianno · #6

Αλλη μιά απόδειξη γι'αυτη την άσκηση

B=2G.pdf: (66.62 KiB) Μεταφορτώθηκε 79 φορές

Π.Γ

#7

rek2 έγραψε:
joulia1961 έγραψε:Θεωρούμε τρίγωνο $AB\Gamma$ με πλευρές α,β,γ και $\widehat{B}=2\widehat{\Gamma}$

Να αποδείξετε ότι: $\beta^{2}=\gamma \cdot(\gamma + \alpha)$
Ως ειδική περίπτωση της άσκησης αυτής έχουμε:
Έστω ΑΒΓΔΕ κανονικό πεντάγωνο.
α. Η διαγώνιος δ και η πλευρά α του κανονικού πενταγώνου συνδέονται με την σχέση $\delta ^{2}=\alpha ^{2}+\alpha \delta$ .
β. Έστω Ζ το σημείο τομής των διαγωνίων ΑΔ και ΒΕ. Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ΒΖΔ εφάπτεται των ΑΒ και ΕΔ

πολύ ωραία
$AB^{2}=AZ\cdot(AZ+BZ)=>\alpha^{2}=(\delta-\alpha)\cdot \delta=>\delta^{2}=\alpha^{2}+\alpha\cdot\delta$

: 14,6,9.png (25.88 KiB) Προβλήθηκε 1457 φορές

Τρίγωνο

Τρίγωνο

Re: Τρίγωνο

Re: Τρίγωνο

Re: Τρίγωνο

Re: Τρίγωνο

Re: Τρίγωνο

Re: Τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση