Βρείτε τη γωνία χ (91)

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3074
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε τη γωνία χ (91)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Οκτ 04, 2011 8:01 am

χ91.png
χ91.png (32.48 KiB) Προβλήθηκε 1434 φορές
Στο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου ABC\left( {{{35}^ \circ }{{,72,5}^ \circ }{{,72,5}^ \circ }} \right) παίρνουμε σημείο D, έτσι ώστε D\widehat AC = {12,5^ \circ } και AD = BC. Βρείτε τη γωνία x = D\widehat CB.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
kostas136
Δημοσιεύσεις: 631
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 6:47 pm
Τοποθεσία: Αθήνα, Ν. Αττικής
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (91)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas136 » Τρί Οκτ 04, 2011 12:33 pm

Μια απόπειρα. Έστω \displaystyle AH\perp BC και σημείο E της AH ώστε BE=BC. Τότε το \triangle BEC θα είναι ισόπλευρο, δηλαδή \displaystyle E\hat BC=60^0.

Άρα \displaystyle A\hat BE=12,5^0.

Τότε θα ισχύει \displaystyle \triangle ABE=\triangle ADC (2 πλευρές και η περιεχόμενη γωνία αυτών).

Άρα \displaystyle A\hat CD=B\hat AE=\frac{\hat A}{2}=17,5^0

Οπότε \displaystyle D\hat CB=72,5^0-17,5^0=55^0


Life is like a box of chocolates. You never know what you might find inside!
To be the Black Swan, to be perfect!
Κώστας Καπένης
Μπουμπουλής Κώστας
Δημοσιεύσεις: 53
Εγγραφή: Τρί Απρ 26, 2011 1:58 am

Re: Βρείτε τη γωνία χ (91)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπουμπουλής Κώστας » Τρί Οκτ 04, 2011 1:25 pm

Νομίζω υπάρχει λάθος. Με γωνία ACD=17,5^{\circ} και νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο ACD έχουμε άτοπο.Εγώ έβγαλα BCD = 60^{\circ}. Η λύση μου όμως έχει πολλές πράξεις και θα τη γράψω αργότερα.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3074
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (91)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Οκτ 04, 2011 3:08 pm

Μπουμπουλής Κώστας έγραψε:Νομίζω υπάρχει λάθος. Με γωνία ACD=17,5^{\circ} και νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο ACD έχουμε άτοπο.Εγώ έβγαλα BCD = 60^{\circ}. Η λύση μου όμως έχει πολλές πράξεις και θα τη γράψω αργότερα.
Η λύση του Κώστα (Kostas136) είναι σωστή και είναι αυτή που είχα κατά νου. Θα σε παρακαλούσα Κώστα Μπουμπουλή να βάλεις αναλυτικά τη λύση σου για να βρεθεί το σφάλμα.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3682
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Βρείτε τη γωνία χ (91)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Τρί Οκτ 04, 2011 11:02 pm

για να δούμε με τριγωνομετρία
-----------------------------------------------
\displaystyle{\vartriangle ABC\rightarrow \frac{BC}{\sin 35}=\frac{AC}{\sin 72.5},~~(1)}

\displaystyle{\vartriangle ADC\rightarrow \frac{AD}{\sin(72.5-x) }=\frac{AC}{\sin (95+x)},~~(2)}

\displaystyle{(1),(2)\rightarrow \frac{\sin(95+x)}{\sin(72.5-x)}=\frac{\sin 72.5}{\sin 35}=\frac{\sin 55~ \cos 17.5+\sin 17.5~ \cos 55}{2~ \sin 17.5~\cos 17.5}=}

\displaystyle{=\frac{\sin 55}{2~\sin 17.5}+\frac{\sin 35}{2~\cos 17.5}=\frac{\sin 55}{2~\sin 17.5}+\sin 17.5=}

\displaystyle{=\frac{1}{2~\sin 17.5}=\frac{\sin 30}{\sin 17.5}=\frac{\sin(95+55)}{\sin(72.5-55)}\Rightarrow \boxed{x=55^o}},μοναδική.


Φωτεινή Καλδή
Μπουμπουλής Κώστας
Δημοσιεύσεις: 53
Εγγραφή: Τρί Απρ 26, 2011 1:58 am

Re: Βρείτε τη γωνία χ (91)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπουμπουλής Κώστας » Τετ Οκτ 05, 2011 2:36 am

Ζητώ συγνώμη για την αργοπορημένη μου απάντηση, αλλά έφυγα πολύ βιαστικά και επέστρεψα πολύ αργά. Η λύση μου είναι (περίπου) σαν της Φωτεινής, όμως είχε αριθμητικό λάθος (καθόλου πρωτότυπο!). Συγνώμη για την αναστάτωση!
Κ.Μ.


Apostolos Manoloudis
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Τρί Δεκ 11, 2012 10:16 am

Re: Βρείτε τη γωνία χ (91)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Apostolos Manoloudis » Δευ Σεπ 19, 2016 9:25 pm

APOSTOLIS 176.ggb
(16.82 KiB) Μεταφορτώθηκε 14 φορές
APOSTOLIS 176.ggb
(16.82 KiB) Μεταφορτώθηκε 14 φορές
Σχηματίζω το ισόπλευρο τρίγωνο ACE , εξωτερικά του τριγώνου ABC , οπότε έχουμε:

D \hat{A} E = 12,5 + 60 =  72,5 = C \hat{B} A , AB = AE , BC = AD ,

άρα το τρίγωνα ABC και EAD είναι ίσα.

Συνεπώς έχουμε ότι A \hat{E} D = B \hat{A} C = 35 και DE = AC .

Οπότε το E είναι περίκεντρο του τριγώνου ADC .

Επομένως ισχύει ότι D \hat{C} A = \frac{1}{2} D \hat{E} A = \frac{35}{2} = 17,5 .

Άρα χ = D \hat{C} B = A \hat{C} B - A \hat{C} D = 72,5 - 17,5  = 55 .


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1330
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Βρείτε τη γωνία χ (91)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Σεπ 19, 2016 11:16 pm

Καλησπέρα.

Κατασκευάζοντας το ισοσκελές τραπέζιο \displaystyle{ACBE} εύκολα προκύπτει το μέτρο των γωνιών του σχήματος και το \displaystyle{\vartriangle ADE} θα είναι ισόπλευρο.

Έτσι , \displaystyle{DE = DA,CE = CA},άρα \displaystyle{CD} διχοτόμος της \displaystyle{\angle ACE = {35^0} \Rightarrow \angle DCE = {17.5^0} \Rightarrow \boxed{\angle DCB = {{37.5}^0} + {{17.5}^0} = {{55}^0}}}
X.png
X.png (44.73 KiB) Προβλήθηκε 869 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Juniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης