ΑΣΤΕΡΙ

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

Για όσους και όσες προετοιμάζονται για τον διαγωνισμό του Θαλή μια ωραία άσκηση γεωμετρίας με αφορμή θέμα από αμερικάνικο διαγωνισμό που είχαμε συζητήσει εδώ
viewtopic.php?f=49&t=2123

Δίνεται το πολύγωνο ΑΒΓΔΕ (αστέρι). Να αποδείξετε ότι:

[rek2]

Φίλε Σπύρο, αφού μπαίνουμε στο λούκι, τουλάχιστον να ζεσταθούμε!

[p_gianno]

Χωρίς λόγια

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

star2.png (21.87 KiB) Προβλήθηκε 3948 φορές

[Γιώργος Ρίζος]

Μετά τις εμπνευσμένες απαντήσεις του Κώστα και του Παναγιώτη, κάτι πιο προσγειωμένο και αναμενόμενο:

asteri 01.png (33.25 KiB) Προβλήθηκε 3938 φορές

Στο πεντάγωνο α + β + γ + δ + ε = 540°
Στο ΒΔΝ είναι Β + Δ + α = 180°
Στο ΑΓΙ είναι Α + Γ + β = 180°
Στο ΒΕΚ είναι Β + Ε + γ = 180°
Στο ΑΔΛ είναι Α + Δ + δ = 180°
Στο ΓΕΜ είναι Ε + Γ + ε = 180°
Προσθέτοντας, 2(Α + Β + Γ + Δ + Ε) + 540° = 900° άρα Α + Β + Γ + Δ + Ε = 180°.

Γιώργος Ρίζος

Στα θέματα Β΄ Γυμνασίου, νομίζω εμφανίζεται πολύ συχνά άσκηση με άθροισμα γωνιών, οπότε η άσκηση που προτείνει ο Σπύρος είναι άκρως διδακτική.

[p_gianno]

Χάριν της ποικιλίας μία ακόμη προσέγγιση με χρήση εξωτερικής γωνίας τριγώνου.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

star3.png (17.14 KiB) Προβλήθηκε 3928 φορές

Π.Γ

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

ευχαριστώ για την συμμετοχή σας και για τις πραγματικά ωραίες λύσεις σας

[Stavroulitsa]

Αν το αστέρι είναι εγγεγραμμενο σε κύκλο(δηλαδή κανονικό) τότε μπορούμε να πούμε πως οι γωνίες του, είναι εγγεγραμμένες σε διαδοχικά τόξα του κύκλου και άρα άχουν άθροισμα 180 μοίρες (σχήμα 2ο). Αν όμως ο κύκλος είναι σαν να έφαγε μπουνιά από τον αδερφό μου, τον T-Rex (βάλτε του και καμια ασκησούλα για να ασχολείτε λίγο και να μην τραγουδάει όλη τη μέρα ΠΑΟΚ ΟΛΕ ΟΛΕ...), τότε η απορία μου είναι: Θα ισχύουν οι ίδιοι κανόνες με το κανονικό αστέρι;

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

Προφανώς Σταυρουλίτσα (αστέρι) εννοείς κανονικό το αστέρι που οι «μύτες» είναι στις κορυφές ενός κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο.

Στην περίπτωση που έχουμε αυτό το «κανονικό αστέρι» η επίκεντρη γωνία είναι

Και η γωνία αντίστοιχη επίκεντρη γωνία φ είναι:


Τότε όλες οι γωνίες του αστεριού έχουν άθροισμα


Αν τώρα ο κύκλος «φάει μπουνιά» από τον αδελφό σου και γίνει «αυγό» μπορεί μεν το άθροισμα των γωνιών του στραπατσαρισμένου αστεριού να είναι 180 μοίρες αλλά δεν ισχύουν οι ιδιότητες που ισχύουν στο «κανονικό» αστέρι λόγω της κανονικότητας του σχήματος, το άθροισμα των γωνιών του αστεριού υπολογίζεται όπως στα παραπάνω μηνύματα

[x_pappas]

Ενδιαφέρομαι να κατασκευάσω ένα "κανονικό" αστέρι (που προκύπτει δηλαδή από τις ακμές του κανονικού πενταγώνου).
Πως θα υπολογίσει τις συντεταγμένες του πενταγώνου;

Ευχαριστώ πολύ εκ των προτέρων,
Παππάς Χρήστος

[Γιώργος Ρίζος]

Καλησπέρα. Καλώς ήλθες στο Δεν ξέρω αν είσαι μαθητής και αν ναι ποιας τάξης. Αφού θέλεις συνταταγμένες προτείνω το εξής:

Κατασκευάζεις έναν μοναδιαίο κύκλο παίρνεις το σημείο και τις διαδοχικές ημιευθείες και , που τον τέμνουν στα αντίστοιχα, σχηματίζοντας διαδοχικές γωνίες .

Οι συντεταγμένες των σημείων προκύπτουν από τη λύση των συστημάτων. Δίνω την εικόνα και ένα αρχείο Geogebra.

Pentagon.png (55.56 KiB) Προβλήθηκε 3221 φορές

[x_pappas]

Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.
Δεν είμαι μαθητής.
Είμαι απόφοιτος της σχολής Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Ε.Μ.Π.
Είμαι 29 ετών.

Καλό Πάσχα, και ευχαριστώ και πάλι!!!

Edit:Έφτιαξα αυτό το excel με βάση όσα μου είπες. Ως A δεν έβαλα το (1,0) αλλά το (0,10).
Νομίζω είναι σωστό.
Δες και πες μου

[Γιώργος Ρίζος]

Χρήστο καλησπέρα.

Το σχήμα σου δεν μπορώ να το δω, γιατί έχω παλαιότερη έκδοση του προγράμματος. Αν μπορείς να το αναρτήσεις σε pdf.

Να απολογηθώ για ένα "τυπογραφικό" λάθος στο κείμενό μου. Οι ημιευθείες είναι

και , που τον τέμνουν στα αντίστοιχα, σχηματίζοντας διαδοχικές γωνίες , όπως φαίνονται στο σχήμα και στο αρχείο Geogebra.

[apotin]

Υλοποιώντας τις οδηγίες του Γιώργου, η σελίδα/φύλλο, και με ακρίβεια δεκαδικών
έχουμε το αποτέλεσμα που φαίνεται στα αρχεία

[Σαμπγουει Νικος]

[x_pappas]

Τα κατάφερα!!! :mathexmastree: :santalogo: :logo: :10sta10: :clap2: :clap: :welcomeani: :winner_first_h4h: :winner_second_h4h: :winner_third_h4h: :first: :D :) ;)

Στο δεύτερο αρχείο έχω βάλει να περιστρέφονται όλα γύρω από το κέντρο του κύκλου (κύκλος, σημεία (ακμές) πενταγώνου, πολύγωνο).
Τι ουσία έχει που περιστρέφεται ο κύκλος, αφού λόγω συμμετρίας δεν αναμένεται κάποια κίνηση;