κάθετη ακτίνα σε πλευρά

#1

Έστω ημικύκλιο κέντρου

και διαμέτρου

.

Σημείο

κινείται στην ακτίνα

ανάμεσα στα $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A$ . Θεωρούμε το μέσο

του

.

Μέσα στο ημικύκλιο κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο $\vartriangle PMZ$ . Η

τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο

.

Έστω $({C_1})$ ο κύκλος που διέρχεται από τα M,H

και εφάπτεται του ημικυκλίου.

1. Κατασκευάσετε άλλο κύκλο $({C_2})$ που να διέρχεται από το

, να τέμνει τον $({C_1})$

ακόμα στο

, να εφάπτεται του ημικυκλίου στο

εις τρόπο ώστε τα σημεία H,D,E

να ανήκουν στην ίδια ευθεία.

2. Αν

το κέντρο του $({C_2})$ , δείξετε ότι $KM \bot MZ$ .

Νίκος

#2

Doloros έγραψε:
Έστω ημικύκλιο κέντρου και διαμέτρου .

Σημείο κινείται στην ακτίνα ανάμεσα στα $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A$ . Θεωρούμε το μέσο του .

Μέσα στο ημικύκλιο κατασκευάζουμε το ισόπλευρο τρίγωνο $\vartriangle PMZ$ . Η τέμνει το ημικύκλιο στο σημείο .

Έστω $({C_1})$ ο κύκλος που διέρχεται από τα και εφάπτεται του ημικυκλίου.

1. Κατασκευάσετε άλλο κύκλο $({C_2})$ που να διέρχεται από το , να τέμνει τον $({C_1})$

ακόμα στο , να εφάπτεται του ημικυκλίου στο εις τρόπο ώστε τα σημεία να ανήκουν στην ίδια ευθεία.

2. Αν το κέντρο του $({C_2})$ , δείξετε ότι $KM \bot MZ$ .

Νίκος

Καλησπέρα Νίκο!

: Κάθετη ακτίνα σε πλευρά.png (30.58 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές

1. Από το

φέρνω κάθετη στην

που τέμνει τον κύκλο (C_1)

στο

. Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο DMK

(τα σημεία H, K

εκατέρωθεν της

). Ο κύκλος (K, KM)

είναι ο ζητούμενος.

Απόδειξη: Έστω (K, r)

ο κύκλος

, $(L,\rho)$ ο κύκλος (C_1)

και

. Η

είναι μεσοκάθετη στην κοινή χορδή

, άρα

. Επίσης είναι $\displaystyle{D\widehat FM = Z\widehat OM = {30^0} \Leftrightarrow KD||OL \Leftrightarrow OK = \rho }$ και OL=r

.

Άρα: $\displaystyle{OL = R - \rho \Leftrightarrow r = R - \rho \Leftrightarrow OK = R - r}$ , που σημαίνει ότι ο κύκλος (C_2)

εφάπτεται στο ημικύκλιο διαμέτρου AB=2R

.

2. $\displaystyle{Z\widehat MK = Z\widehat MD + D\widehat MK = {30^0} + {60^0} = {90^0}}$

ealexiou · #3

Γεια σας !

: Κάθετη ακτίνα σε πλευρά.png (46.08 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές

Για το 1)
Αν είναι

το σημείο τομής της

με την μεσοκάθετο στην

τότε το

είναι το κέντρο του γαλάζιου κύκλου και με ακτίνα NH=NM

τον κατασκευάζουμε, τέμνει δε την

στο

.
Φέρω κάθετο στην

στο

, η οποία τέμνει τον γαλάζιο κύκλο στο

και την κοινή εφαπτομένη του γαλάζιου κύκλου και του ημικυκλίου (στο

) στο σημείο

και προεκτείνω την

μέχρι να τμήσει το ημικύκλιο, έστω στο

.
Το

είναι το ριζικό κέντρο του ημικυκλίου, του γαλάζιου κύκλου και του ζητούμενου κόκκινου κύκλου, του οποίου το κέντρο

ορίζεται ως τομή της καθέτου στην εφαπτομένη

, στο

, και της μεσοκαθέτου στην

. Ο κύκλος (K,KE)

είναι ο ζητούμενος κόκκινος κύκλος (με κάποιες επιφυλάξεις ).

Για το 2) Όπως φαίνεται στο σχέδιο μου, ίδια λύση με του Γιώργου.

κάθετη ακτίνα σε πλευρά

κάθετη ακτίνα σε πλευρά

Re: κάθετη ακτίνα σε πλευρά

Re: κάθετη ακτίνα σε πλευρά

Μέλη σε σύνδεση